Question

【題目】已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)，如圖②，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．連接PQ、MQ、MC．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AB？
（2）當(dāng)t=3時(shí)，求△QMC的面積；
（3）是否存在t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖所示，

AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，

∴Rt△ABC中，AC=4，

若PQ∥AB，則有 = ，

∵CQ=PA=t，CP=4﹣t，QB=5﹣t，

∴ = ，

即20﹣9t+t2=t2，

解得t= ，

當(dāng)t= 時(shí)，PQ∥AB

（2）

解：如圖所示，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，

∴∠PDC=∠A=90°，

∵∠PCD=∠BCA

∴△CPD∽△CBA，

∴ = ，

當(dāng)t=3時(shí)，CP=4﹣3=1，

∵BA=3，BC=5，

∴ = ，

∴PD= ，

又∵CQ=3，PM∥BC，

∴S△QMC= ×3× = ；

（3）

解：存在時(shí)刻t= ，使PQ⊥MQ，

理由如下：如圖所示，過點(diǎn)M作ME⊥BC的延長線于點(diǎn)E，

∵△CPD∽△CBA，

∴ = = ，

∵BA=3，CP=4﹣t，BC=5，CA=4，

∴ = = ，

∴PD= （4﹣t），CD= （4﹣t）．

∵PQ⊥MQ，

∴∠PDQ=∠QEM=90°，∠PQD=∠QME，

∴△PDQ∽△QEM，

∴ = ，即PDEM=QEDQ．

∵EM=PD= （4﹣t）= ﹣ t，

DQ=CD﹣CQ= （4﹣t）﹣t= ﹣ t，

QE=DE﹣DQ=5﹣[ （4﹣t）﹣t]= + t，

∴（ ﹣ t）2=（ ﹣ t）（ + t），

即2t2﹣3t=0，

∴t= 或t=0（舍去），

∴當(dāng)t= 時(shí)，PQ⊥MQ．

【解析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)PQ∥AB，得出關(guān)于t的比例式，求解即可；（2）過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，根據(jù)△CPD∽△CBA，列出關(guān)于t的比例式，表示出PD的長，再根據(jù)S△QMC= QCPD，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）過點(diǎn)M作ME⊥BC的延長線于點(diǎn)E，根據(jù)△CPD∽△CBA，得出PD= （4﹣t），CD= （4﹣t），再根據(jù)△PDQ∽△QEM，得到 = ，即PDEM=QEDQ，進(jìn)而得到方程（ ﹣ t）2=（ ﹣ t）（ + t），求得t= 或t=0（舍去），即可得出當(dāng)t= 時(shí)，PQ⊥MQ．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的應(yīng)用，需要了解測高：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能得出正確答案．