Question

如圖，已知AD是三角形紙片ABC的高，將紙片沿直線EF折疊，使點A與點D重合，給出下列判斷：
①EF是△ABC的中位線；
②△DEF的周長等于△ABC周長的一半；
③若四邊形AEDF是菱形，則AB=AC；
④若∠BAC是直角，則四邊形AEDF是矩形，
其中正確的是（　�。�

A．①②③

B．①②④

C．②④

D．①③④

Answer 1

分析：根據(jù)折疊可得EF是AD的垂直平分線，再加上條件AD是三角形紙片ABC的高可以證明EF∥BC，進而可得△AEF∽△ABC，從而得到

AE

AB

=

AF

AC

=

AO

AD

=

1

2

，進而得到EF是△ABC的中位線；再根據(jù)三角形的中位線定理可判斷出△AEF的周長是△ABC的一半，進而得到△DEF的周長等于△ABC周長的一半；根據(jù)三角形中位線定理可得AE=

1

2

AB，AF=

1

2

AC，若四邊形AEDF是菱形則AE=AF，即可得到AB=AC．

解答：解：∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
根據(jù)折疊可得：EF是AD的垂直平分線，
∴AO=DO=

1

2

AD，AD⊥EF，
∴∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠ADC=90°，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AF

AC

=

AO

AD

=

1

2

，
∴EF是△ABC的中位線，
故①正確；
∵EF是△ABC的中位線，
∴△AEF的周長是△ABC的一半，
根據(jù)折疊可得△AEF≌△DEF，
∴△DEF的周長等于△ABC周長的一半，
故②正確；
∵EF是△ABC的中位線，
∴AE=

1

2

AB，AF=

1

2

AC，
若四邊形AEDF是菱形，
則AE=AF，
∴AB=AC，
故③正確；
根據(jù)折疊只能證明∠BAC=∠EDF=90°，
不能確定∠AED和∠AFD的度數(shù)，故④錯誤；
故選：A．

點評：此題主要考查了圖形的翻折變換，以及三角形中位線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．