Question

如圖1，已知反比例函數(shù)y=

k

x

過點(diǎn)P，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3-m，2m），m是分式方程

m-3

m-2

+1=

3

2-m

的解，PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B．
（1）求m值．
（2）試判斷四邊形PAOB的形狀，并說明理由．
（2）如圖2，連接AB，E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥BP于點(diǎn)F，G為AE的中點(diǎn)，連接OG、FG，試問FG和OG有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并證明．

Answer 1

分析：（1）解出分式方程，即可求出m的值；
（2）先根據(jù)三個(gè)角都是直角判斷出四邊形PAOB是矩形，再根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）判斷出PB=PA，從而判斷出四邊形PAOB是正方形；
（3）延長(zhǎng)FE交OA于點(diǎn)H，連接GH 根據(jù)∠HFB=∠FBO=∠BOH=90°判斷出BOHF是矩形，再證出△GEF≌△GHO，即可判斷OG=FG．

解答：解：（1）由題意解分式方程

m-3

m-2

+1=

3

2-m

，
整理得：
m-3+m-2=-3，
解得：m=1，
經(jīng)檢驗(yàn)知m=1是原分式方程的解．

（2）四邊形PAOB是正方形．理由如下：
∵∠AOB=∠OBP=∠OAP=90°，
∴四邊形PAOB是矩形，
又∵m=1，
∴P（2，2），
∴PB=PA=2，
∴四邊形PAOB是正方形．

（3）OG=FG．
證明，如右圖所示：
延長(zhǎng)FE交OA于點(diǎn)H，連接GH，
∵∠HFB=∠FBO=∠BOH=90°，
∴BOHF是矩形，
∴BF=OH，
∵∠FBE=∠FEB=45°，
∴EF=BF=OH，
∵∠EHA=90°，G為AE的中點(diǎn)，
∴GH=GE=GA，
∴∠GEH=∠GAH=45°，
∴∠GEF=∠GHO，
∴△GEF≌△GHO，
∴OG=FG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象和點(diǎn)的坐標(biāo)特征及分式方程的解法，綜合性較強(qiáng)，是一道難度較大的中考題，要仔細(xì)解答．