Question

【題目】這是一道我們曾經(jīng)探究過的問題：如圖1．等腰直角三角形中，，．直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)．易證得≌．（無需證明），我們將這個(gè)模型稱為“一線三等角”或者叫“K形圖”.接下來，我們就利用這個(gè)模型來解決一些問題：

（模型應(yīng)用）

（1）如圖2．已知直線l1：與與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B．以AB為直角邊作等腰直角三角形ABC，若存在，請求出C的坐標(biāo)；不存在，若說明理由.

（2）如圖3已知直線l1：與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B．將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2．直線l2在x軸上方的圖像上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QAB是以QA為底的等腰直角三角形？若存在，請求出直線BQ的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，說明理由.

（拓展延伸）

（3）直線AB：與軸負(fù)半軸、軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn).分別以OB、AB為邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸于P點(diǎn)，如圖4,△EPB的面積是否確定？若確定，請求出具體的值；若不確定，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）存在，或或或；（2）存在，；（3）確定，面積是：1.

【解析】

（1）存在，如圖①、圖②，C1、C2、C3、C4都符合，根據(jù)“一線三等角”模型，易證得三角形全等，從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）存在，過作交直線l2于，△QAB就是以QA為底邊的等腰直角三角形，根據(jù)“一線三等角”模型，易證得, 從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，繼而求得直線BQ的函數(shù)關(guān)系式；

（3）確定，面積是：1.過作軸于，根據(jù)“一線三等角”模型，易證得,可求得E、F的坐標(biāo)，從而求得直線EF的解析式，繼而求得P點(diǎn)坐標(biāo)，可以求得△EPB的面積.

（1）∵直線l1：與與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,

∴A、B的坐標(biāo)分別是A(3，0)、B(0，4)，則，

如圖①：過作軸于，作軸于，

根據(jù)“一線三等角”模型，易證得

∴

∴的坐標(biāo)是

如圖②：過作軸于，作軸于，

根據(jù)“一線三等角”模型，易證得,

∴

∴的坐標(biāo)是

（2）存在，

如圖，過作交直線l2于，

由于是旋轉(zhuǎn)角，

∴，

則△QAB就是以QA為底邊的等腰直角三角形，

∵直線l1：與與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,

∴A、B的坐標(biāo)分別是A(-4，0)、B(0，3)，

則，

過作軸于，

根據(jù)“一線三等角”模型，易證得

∴

∴的坐標(biāo)是

設(shè)直線BQ的解析式是：

把B(0，3)，代入得,

解得：

∴直線BQ的解析式是：

（3）確定，面積是：1.

∵直線AB：與軸負(fù)半軸、軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),

∴A、B的坐標(biāo)分別是A(-2，0)、B(0，1)，

則，

如圖，過作軸于，

根據(jù)“一線三等角”模型，易證得

∴,

∴的坐標(biāo)是

∵是等腰直角三角形，∴

∴的坐標(biāo)是

設(shè)直線EF的解析式是：

把，代入得,

解得：

∴直線EF的解析式是：

∴直線EF與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是