Question

【題目】如圖，直線和相交于點(diǎn)C，分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B點(diǎn)P為射線BC上的一點(diǎn)。

（1）如圖1，點(diǎn)D是直線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接OD，將沿OD翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為，連接，并取的中點(diǎn)F，連接PF，當(dāng)四邊形AOCP的面積等于時(shí)，求PF的最大值；

（2）如圖2，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度，分別與x軸和直線BC相交于點(diǎn)S和點(diǎn)R，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出α的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）PF的最大值是；（2）的度數(shù)：，，，.

【解析】

（1）設(shè)P（m，-m+6），連接OP．根據(jù)S四邊形AOCP=S△AOP+S△OCP=，構(gòu)建方程求出點(diǎn)P坐標(biāo)，取OB的中點(diǎn)Q，連接QF，QP，求出FQ，PQ，根據(jù)PF≤PQ+QF求解即可．

（2）分四種情形：①如圖2-1中，當(dāng)RS=RB時(shí)，作OM⊥AC于M．②如圖2-2中，當(dāng)BS=BR時(shí)，③如圖2-3中，當(dāng)SR=SB時(shí)，④如圖2-4中，當(dāng)BR=BS時(shí)，分別求解即可解決問題．

解：（1）在中，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，﹒

∴，

設(shè)，連接OP

∴

∴

∴ ∴

取OB的中點(diǎn)Q，連接FQ，PQ

在中，當(dāng)時(shí)，

∴ ∴

又∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，

∴

∵

所以PF的最大值是

（2）①如圖2-1中，當(dāng)RS=RB時(shí)，作OM⊥AC于M．

∵tan∠OAC==，

∴∠OAC=60°，

∵OC=OB=6，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵∠OM′S=∠BRS=90°，

∴OM′∥BR，

∴∠AOM′=∠OBC=45°，

∵∠AOM=30°，

∴α=45°-30°=15°．

②如圖2-2中，當(dāng)BS=BR時(shí)，易知∠BSR=22.5°，

∴∠SOM′=90°-22.5°=67.5°，

∴α=∠MOM′=180°-30°-67.5°=82.5°

③如圖2-3中，當(dāng)SR=SB時(shí)，α=180°-30°=150°．

④如圖2-4中，當(dāng)BR=BS時(shí)，α=150°+（90°-67.5°）=172.5°．

綜上所述，滿足條件的α的值為15°或82.5°或150°或172.5°．