Question

【題目】如圖，已知AD既是△ABC的中線，又是角平分線，請判斷：

（1）△ABC的形狀；

（2）AD是否過△ABC外接圓的圓心O，⊙O是否是△ABC的外接圓，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

試題（1）過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，根據(jù)HL定理可得出△BDE≌△CDF，進而得出結論；

（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AD⊥BC，再由BD=CD，可知AD過圓心O，故可得出結論．

試題解析：（1）答：△ABC是等腰三角形．

證明：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．

∵AD是角平分線，

∴DE=DF．

又∵AD是△ABC的中線，

∴BD=CD，

在Rt△BDE與Rt△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（HL）．

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；

（2）答：AD過△ABC的外接圓圓心O，⊙O是△ABC的外接圓．

證明：∵AB=AC，AD是角平分線，

∴AD⊥BC，

又∵BD=CD，

∴AD過圓心O．

作邊AB的中垂線交AD于點O，交AB于點M，則點O就是△ABC的外接圓圓心，

∴⊙O是△ABC的外接圓．