Question

【題目】如圖：、是銳角的兩條高，、分別是、的中點，若EF=6，.

（1）證明：；

（2）判斷與的位置關系，并證明你的結論；

（3）求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）MN垂直平分EF，證明見解析；（3）MN＝.

【解析】

（1）依據BE、CF是銳角△ABC的兩條高，可得∠ABE＋∠A＝90°，∠ACF＋∠A＝90°，進而得出∠ABE＝∠ACF；

（2）連接EM、FM，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EM＝FM＝BC，再根據等腰三角形三線合一的性質解答；

（3）求出EM、EN，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解：（1）∵BE、CF是銳角△ABC的兩條高，

∴∠ABE＋∠A＝90°，∠ACF＋∠A＝90°，

∴∠ABE＝∠ACF；

（2）MN垂直平分EF．

證明：如圖，連接EM、FM，

∵BE、CF是銳角△ABC的兩條高，M是BC的中點，

∴EM＝FM＝BC，

∵N是EF的中點，

∴MN垂直平分EF；

（3）∵EF＝6，BC＝24，

∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，

由勾股定理得，MN＝．