Question

【題目】如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．若點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．

(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△AEP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫出此時(shí)線段PE和線段PQ的位置關(guān)系；

(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，設(shè)△PEQ的面積為Scm2，請(qǐng)用t的代數(shù)式表示S；

(3)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△AEP與△BPQ全等？

Answer 1

【答案】（1）全等。理由見解析；（2）S=；（3）點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為=3÷2=1.5cm/秒時(shí)，△AEP≌△BQP..

【解析】

（1）本題很容易證明△AEP≌△BPQ，這樣可得出∠AEP=∠BPQ，因?yàn)椤?/span>AEP+∠APE=90°，可得出∠BPQ+∠APE=90°，這即可判斷出結(jié)論．
（2）可分別用t表示出AP、BQ、BP的長(zhǎng)度，然后用梯形的面積減去△APE、△BPQ的面積即可得出△PEQ的面積為Scm2．
（3）設(shè)Q運(yùn)動(dòng)的速度為xcm/s，則根據(jù)△AEP與△BQP得出AP=BP、AE=BQ，解出即可得出答案．

（1）全等,

理由：當(dāng)t=1時(shí)，AP=1，BQ=1，∴AP=BQ．

∵E是AD的中點(diǎn)，∴

∵PB=AB=AP=4﹣1=3，∴AE=PB．

在Rt△EAP和Rt△PBQ中，

∴△EAP≌Rt△PBQ（SAS）．

此時(shí).

（2）如圖1所示連接QE．

圖1

當(dāng)t≤4時(shí)，AP=BQ=t，

S梯形AEQB

∴

如圖2所示：

當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，

∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=；

（t的取值范圍不做要求）

（3）如圖3所示：

∵△AEP≌△BQP，PA≠BQ，

∴AP=PB=2，AE=BQ=3．

∴

∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為=3÷2=1.5cm/秒時(shí)，△AEP≌△BQP..