Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=

5

，BC=4，點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與邊AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)A除外），設(shè)OB=x，AD=y，
（1）求sin∠ABC的值；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）當(dāng)點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，⊙O是否可能與以C為圓心，

1

4

BC長為半徑的⊙C相切？如果可能，請(qǐng)求出兩圓相切時(shí)x的值；如果不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BE的長，再由勾股定理求出AE的長，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；
（2）過點(diǎn)O作OF⊥AD，垂足為F，連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可用y表示出AF，DF及BF的值，由相似三角形的判定定理可知△OBF∽△ABE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）先求出⊙C的半徑CP的長，再根據(jù)兩圓相切時(shí)兩圓心的距離列方程求解即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，由AB=AC，得BE=

1

2

BC=2，（1分）
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=

AB2-BE2

=1，（1分）
∴sin∠ABC=

AE

AB

=

1

5

=

5

5

；（1分）
（2）過點(diǎn)O作OF⊥AD，垂足為F，連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，AF=DF=

1

2

AD=

1

2

y，（1分）
BF=AB-AF=

5

-

1

2

y．（1分）
∵∠OFB=∠AEB=90°，∠OBF=∠ABE，∴△OBF∽△ABE（1分）
∴

BF

BE

=

OB

AB

，即

5 - 1 2 y

2

=

x

5

（1分）
整理得y=-

4

5

5

x+2

5

（

5

4

≤x＜

5

2

）（2分）
（3）可能相切．
在Rt△AEO中，∠AEO=90°，AE=1，OE=|2-x|，
則AO=

OE2+AE2

=

x2-4x+5

（1分）
設(shè)⊙C與BC邊相交于點(diǎn)P，則⊙C的半徑CP=

1

4

BC=1，
①若⊙O與⊙C外切，則有OA+CP=OC．
即

x2-4x+5

+1=4-x，
解得x=2；（1分）
②若⊙O與⊙C內(nèi)切，則有|OA-CP|=OC．
∵1≤OA≤

5

4

，PC=1，OA≥CP，∴只有OA-CP=OC．（1分）
即

x2-4x+5

-1=4-x，
解得x=

10

3

（不合題意，舍去），（1分）
∴當(dāng)⊙O與⊙C相切時(shí)，x=2．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形判定與性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形，由相似三角形的性質(zhì)解答．