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        1. 已知:如圖①,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,延長AB到E,使BE=CD,連接CE.

          (1)求證:CE=CA;
          (2)在上述條件下,延長AD、EC交于點(diǎn)G,若將AE沿AF翻折,點(diǎn)E與點(diǎn)G剛好重合,如圖②.且GC:CE=3:5,AE=2
          10
          ,求AF的長.
          分析:(1)先由四邊形ABCD是等腰梯形得出CA=DB,再根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形DBEC是平行四邊形,得出CE=DB,從而得到CE=CA;
          (2)先由軸對稱的性質(zhì)得出AF⊥EG,AG=AE,EF=
          1
          2
          EG.過C點(diǎn)作AE的垂線,垂足為H.根據(jù)平行線分線段成比例定理,得出BE:AB=GD:DA=GC:CE=3:5,且AD=AB,由AE=2
          10
          ,得到AB=
          5
          4
          10
          ,DC=BE=
          3
          4
          10
          ,再由四邊形ABCD是等腰梯形,得出BH=
          1
          2
          (AB-CD)=
          1
          4
          10
          ,在直角三角形BCH中,運(yùn)用勾股定理求出CH=
          15
          ,則EH=BE+BH=
          10
          ,在直角三角形CEH中,運(yùn)用勾股定理求出CE=5,則EF=
          1
          2
          EG=4,最后在Rt△AEF中,運(yùn)用勾股定理求出AF=2
          6
          解答:(1)證明:如圖①.
          ∵在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,
          ∴四邊形ABCD是等腰梯形,
          ∴CA=DB.
          ∵CD=BE且CD∥BE,
          ∴四邊形DBEC是平行四邊形,
          ∴CE=DB,
          ∴CE=CA;

          (2)解:如圖②.
          ∵將AE沿AF翻折,點(diǎn)E與點(diǎn)G剛好重合,
          ∴△AFG≌△AFE,AF⊥EG,
          ∴AG=AE,EF=
          1
          2
          EG.
          過C點(diǎn)作AE的垂線,垂足為H.
          ∵DC∥AE,
          ∴GD:DA=GC:CE=3:5,
          ∵四邊形DBEC是平行四邊形,
          ∴BD∥CE,
          ∴BE:AB=GD:DA=3:5,且AD=AB,
          又∵AE=2
          10
          ,
          ∴AB=
          5
          4
          10
          ,DC=BE=
          3
          4
          10

          又∵四邊形ABCD是等腰梯形,
          ∴BH=
          1
          2
          (AB-CD)=
          1
          4
          10
          ,BC=AD=AB=
          5
          4
          10

          ∴在直角三角形BCH中,CH=
          BC2-BH2
          =
          15

          ∵EH=BE+BH=
          3
          4
          10
          +
          1
          4
          10
          =
          10
          ,
          ∴在直角三角形CEH中,CE=
          CH2+EH2
          =5,
          ∴CG=3,EG=CE+CG=8,EF=
          1
          2
          EG=4.
          在Rt△AEF中,∵∠AFE=90°,
          ∴AF=
          AE2-EF2
          =
          (2
          10
          )
          2
          -42
          =2
          6
          點(diǎn)評:本題考查了等腰梯形的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),平行線分線段成比例定理,勾股定理等知識,綜合性較強(qiáng),有一定難度.準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知,如圖1,直角梯形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=nAD,AE⊥BD于點(diǎn)E,過E作CE的垂線交直線AB于點(diǎn)F.
          (1)當(dāng)n=4時,則
          AE
          BE
          =
           
          ,
          ED
          BE
          =
           

          (2)當(dāng)n=2時,求證:BF=AF;
          (3)如圖2,F(xiàn)點(diǎn)在AB的延長線上,當(dāng)n=
           
          時,B為AF的中點(diǎn);如圖3,將圖形1中的線段AD沿AB翻折,其它條件不變,此時F點(diǎn)在AB的反向延長線上,當(dāng)n=
           
          時,A為BF的中點(diǎn).
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知,如圖1,在直角坐標(biāo)系中,有等腰梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD,拋物線y=
          3
          6
          (x-2)(x-6)
          交x軸于點(diǎn)E、C(點(diǎn)C在點(diǎn)E的右側(cè)),交y軸于點(diǎn)A,它的對稱軸過點(diǎn)D,頂點(diǎn)為點(diǎn)F;
          (1)求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo);
          (2)點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn),它到邊AB、BC所在直線的距離相等,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
          (3)如圖2,若點(diǎn)Q是線段AD上的一個動點(diǎn),AQ=t,以BQ為一邊作∠BQR=120°,交CD于點(diǎn)R,連接ER、FC,試探究:是否存在t的值,使ER∥FC?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•閘北區(qū)二模)已知:如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=6,AB=8,sinC=
          45
          ,點(diǎn)P在射線DC上,點(diǎn)Q在射線AB上,且PQ⊥CD,設(shè)DP=x,BQ=y.
          (1)求證:點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上;
          (2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段DC上,且點(diǎn)Q在線段AB上時,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;
          (3)若以點(diǎn)B為圓心、BQ為半徑的⊙B與以點(diǎn)C為圓心、CP為半徑的⊙C相切,求線段DP的長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年上海市閘北區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:解答題

          已知:如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=6,AB=8,sinC=,點(diǎn)P在射線DC上,點(diǎn)Q在射線AB上,且PQ⊥CD,設(shè)DP=x,BQ=y.
          (1)求證:點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上;
          (2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段DC上,且點(diǎn)Q在線段AB上時,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;
          (3)若以點(diǎn)B為圓心、BQ為半徑的⊙B與以點(diǎn)C為圓心、CP為半徑的⊙C相切,求線段DP的長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年浙江省杭州市十五中中考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:解答題

          已知,如圖1,在直角坐標(biāo)系中,有等腰梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD,拋物線交x軸于點(diǎn)E、C(點(diǎn)C在點(diǎn)E的右側(cè)),交y軸于點(diǎn)A,它的對稱軸過點(diǎn)D,頂點(diǎn)為點(diǎn)F;
          (1)求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo);
          (2)點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn),它到邊AB、BC所在直線的距離相等,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
          (3)如圖2,若點(diǎn)Q是線段AD上的一個動點(diǎn),AQ=t,以BQ為一邊作∠BQR=120°,交CD于點(diǎn)R,連接ER、FC,試探究:是否存在t的值,使ER∥FC?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.

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