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        1. 如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(-2,0)、B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),連接BC、AC,該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)D.
          (1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式、點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線(xiàn)BC的函數(shù)解析式;
          (2)點(diǎn)Q在線(xiàn)段BC上,使得以點(diǎn)Q、D、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);
          (3)在(2)的條件下,若存在點(diǎn)Q,請(qǐng)任選一個(gè)Q點(diǎn)求出△BDQ外接圓圓心的坐標(biāo).
          分析:(1)設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+2)(x-4),把點(diǎn)C(0,3)代入求出a的值即可得出二次函數(shù)的解析式,進(jìn)而得出拋物線(xiàn)的解析式求出對(duì)稱(chēng)軸方程,故可得出D點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式,;
          (2)根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng),由于相似三角形的對(duì)應(yīng)角不能確定,故應(yīng)分∠QDB=∠CAB和∠DQB=∠CAB兩種情況進(jìn)行討論;
          (3)當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,
          3
          2
          )時(shí),設(shè)圓心的M(
          5
          2
          ,y),根據(jù)MD=MQ即可求出y的值,故可得出結(jié)論.
          解答:解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(-2,0)、B(4,0),
          與y軸交于點(diǎn)C(0,3),
          ∴設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+2)(x-4),把點(diǎn)C(0,3)代入得,a(0+2)(0-4)=3,
          解得a=-
          3
          8

          ∴這個(gè)一次函數(shù)的解析式為:y=-
          3
          8
          x2+
          3
          4
          x+3;
          ∵y=-
          3
          8
          x2+
          3
          4
          x+3=-
          3
          8
          (x-1)2+
          27
          8
          ,
          ∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直x=1,
          ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,0). 
          設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為;y=kx+b(k≠0),
          4k+b=0
          b=3
          ,解得
          k=-
          3
          4
          b=3
          ,
          ∴直線(xiàn)BC的解析式為y=-
          3
          4
          x+3.

          (2)∵A(-2,0),B(4,0),C(0,3),D(1,0),
          ∴OD=1,BD=3,CO=3,BO=4,AB=6,
          ∴BC=
          OB2+OC2
          =
          42+32
          =5,
          如圖1,當(dāng)∠QDB=∠CAB時(shí),
          QB
          CB
          =
          DB
          AB
          QB
          5
          =
          3
          6
          ,解得QB=
          5
          2

          過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H,
          ∵OC⊥x軸,
          ∴QH∥CO.
          QH
          3
          =
          5
          2
          5
          .解得QH=
          3
          2

          把y=
          3
          2
          代入y=-
          3
          4
          x+3,得x=2.
          ∴此時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,
          3
          2
          );
          如圖2,當(dāng)∠DQB=∠CAB時(shí),
          QB
          AB
          =
          DB
          CB
          ,即
          QB
          6
          =
          3
          5
          ,得QB=
          18
          5

          過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥x軸于點(diǎn)G,
          ∵OC⊥x軸,
          ∴QG∥CO.
          QG
          3
          =
          18
          5
          5
          .解得QG=
          54
          25

          把y=
          54
          25
          代入y=-
          3
          4
          x+3,得x=
          28
          25

          ∴此時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(
          28
          25
          ,
          54
          25
          ).
          綜上所述,點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2,
          3
          2
          )或(
          28
          25
          ,
          54
          25
          );

          (3)當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,
          3
          2
          )時(shí),設(shè)圓心的M(
          5
          2
          ,y).
          ∵M(jìn)D=MQ,
          ∴(
          5
          2
          -1)2+y2=(
          5
          2
          -2)2+(y-
          3
          2
          2,解得y=
          1
          12
          ,
          ∴M(
          5
          2
          1
          12
          ).
          點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、相似三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí),難度較大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(0,
          7
          9
          3
          ),且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4,該圖象在x軸上截得的線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為6.
          (1)求二次函數(shù)的解析式;
          (2)在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P,使PA+PD最小,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
          (3)在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q,使△QAB與△ABC相似?如果存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,3),一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B(6,0).
          (1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
          (2)如果一次函數(shù)圖象與y相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上,與y軸平行的直線(xiàn)DE與二次函數(shù)圖象相交于點(diǎn)E,∠CDO=∠OED,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
          精英家教網(wǎng)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)A(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求這個(gè)二次函數(shù)解析式.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過(guò)程,如圖的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫(huà)了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)s(萬(wàn)元)與時(shí)間t(月)之間的關(guān)系(即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和s與t之間的關(guān)系).根據(jù)圖象提供的信息,解答下列問(wèn)題:
          (1)求累積利潤(rùn)s(萬(wàn)元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)求截止到幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)30萬(wàn)元;
          (3)從第幾個(gè)月起公司開(kāi)始盈利?該月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于兩個(gè)點(diǎn),根據(jù)圖象回答:(1)b
          0(填“>”、“<”、“=”);
          (2)當(dāng)x滿(mǎn)足
          x<-4或x>2
          x<-4或x>2
          時(shí),ax2+bx+c>0;
          (3)當(dāng)x滿(mǎn)足
          x<-1
          x<-1
          時(shí),ax2+bx+c的值隨x增大而減。

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