Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（－3，0），B（4，0），C（0，4）. 二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．點(diǎn)P沿AC由點(diǎn)A處向點(diǎn)C運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q沿BO由點(diǎn)B處向點(diǎn)O運(yùn)動，運(yùn)動速度均為每秒1個(gè)單位長度.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．連接PQ，過點(diǎn)Q作QD⊥x軸，與二次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)D，連接PD，PD與BC交于點(diǎn)E． 設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒（t＞0）.

⑴ 求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵ 在點(diǎn)P、Q運(yùn)動的過程中，當(dāng)∠PQA＋∠PDQ＝90°時(shí)，求t的值；

⑶ 連接PB、BD、CD，試探究在點(diǎn)P，Q運(yùn)動的過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得四邊形PBDC是平行四邊形？若存在，請求出此時(shí)t的值與點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】⑴ ⑵當(dāng)∠PQA = 90°-∠PDQ時(shí)，t的值為 ⑶ 不存在某一時(shí)刻，使得四邊形PBDC是平行四邊形

【解析】(1)把A（－3，0），B（4，0），C（0，4）三點(diǎn)代入y=ax+bx+c即可求解;(2)求出直線AC的解析式，利用二次函數(shù)的解析式分別設(shè)出點(diǎn)P、D的坐標(biāo)，作PH⊥DQ,可得DQ=2HQ,利用即可求出t的值;(3)由直線PD與BC相交于E,用含t的代數(shù)式設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，點(diǎn)E又在直線BC: y=-x+4上,得到關(guān)于t的一元二次方程，再利用根的判別式小于0，判斷出方程無解即可.

詳解⑴設(shè)y=ax+bx+c，把A（－3，0），B（4，0），C（0，4）三點(diǎn)代入得

，解得

∴

⑵，

作,

∵ ∴

∴=

解得（舍去），,

∴當(dāng)∠PQA = 90°-∠PDQ時(shí)，的值為

⑶不存在某一時(shí)刻，使得四邊形PBDC是平行四邊形.

理由：若四邊形PBDC是平行四邊形, 則BC平分線段PD，

∵點(diǎn)E又在直線BC: 上，

∴

整理得

此方程根的判別式，

∴方程無實(shí)數(shù)根.

即不存在某一時(shí)刻，四邊形PBDC是平行四邊形.