Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一條角平分線．點O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形．

（1）求證：點O在∠BAC的平分線上;
（2）若AC=5，BC=12，求OE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：過點O作OM⊥AB，

∵BD是∠ABC的一條角平分線，

∴OE=OM，

∵四邊形OECF是正方形，

∴OE=OF，

∴OF=OM，

∴AO是∠BAC的角平分線，即點O在∠BAC的平分線上

（2）

解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，

∴AB===13，

設(shè)OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，

∴，

解得：，

∴OE=2．

【解析】（1）過點O作OM⊥AB，由角平分線的性質(zhì)得OE=OM，由正方形的性質(zhì)得OE=OF，易得OM=OF，由角平分線的判定定理得點O在∠BAC的平分線上；
（2）由勾股定理得AB的長，利用方程思想解得結(jié)果．