Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，以O(shè)B為直徑的⊙C與AB交于點(diǎn)D，DE與⊙C相切交x軸于點(diǎn)E，且 OA=12

3

cm，∠OAB=30°．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線AB的解析式；
（2）過點(diǎn)B作BG⊥EC于F，交x軸于點(diǎn)G，求BD的長及點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B→G的方向以4cm/s的速度勻速向點(diǎn)G移動，點(diǎn)Q同時從點(diǎn)A開始沿AG勻速向點(diǎn)G移動，當(dāng)四邊形CBPQ為平行四邊形時，求點(diǎn)Q的移動速度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=12

3

，可得AB=2OB，求出AO的長，進(jìn)而求出直線AB的解析式即可；
（2）利用切線的性質(zhì)定理以及勾股定理得出EO的長，進(jìn)而求出FM，MO的長即可；
（3）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AB中點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動到AO中點(diǎn)時，PQ∥BC，且PQ=BC，此時四邊形CBPQ為平行四邊形，點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合，以及 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到BG中點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動到OG中點(diǎn)時，分別得出答案．

解答：解：（1）由OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=12

3

，可得AB=2OB．
在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=12，AB=24．
∴B（0，12），
∵OA=12

3

，
∴A （12

3

，0）．
可設(shè)直線AB的解析式為：y=ax+b，
∴

b=12 12 3 a+b=0

，
∴

a=- 3 3 b=12

，
∴可得直線AB的解析式為：y=-

3

3

x+12．

（2）連接CD，過F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，則CB=CD．
∵∠OBA=90°-∠A=60°，
∴△CBD是等邊三角形．
∴BD=CB=

1

2

OB=6，
∠BCD=60°，∠OCD=120°．
∵OB是直徑，OA⊥OB，
∴OA切⊙C于O．
∵DE切⊙C于D，
∴∠COE=∠CDE=90°，∠OEC=∠DEC．
∴∠OED=360°-∠COE-∠CDE-∠OCD=60°．
∴∠OEC=∠DEC=30°．
∴CE=12，CO=6．
∴在Rt△COE中，由勾股定理OE=

CE2-CO2

=6

3

．
∵BG⊥EC于F，
∴∠GFE=90°．
∵∠GBO+∠BGO=∠OEC+∠BGO，
∴∠GBO=∠OEC=30°．
故可得FC=

1

2

BC=3，EF=FC+CE=15，
FM=

1

2

EF=

15

2

，ME=

3

FM=

15 3

2

．
∴MO=

15 3

2

-6

3

=

3 3

2

．
∴F（-

3 3

2

，

15

2

）．

（3）設(shè)點(diǎn)Q移動的速度為vcm/s．
（�。┊�(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AB中點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動到AO中點(diǎn)時，PQ∥BC，且PQ=BC，此時四邊形CBPQ為平行四邊形，點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合．
可得AP=12，  t=

AP

4

=3．
∴v=

AE

t

=

6 3

3

=2

3

（cm/s）．
（ⅱ） 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到BG中點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動到OG中點(diǎn)時，
PQ∥BC，PQ=BC，此時四邊形CBPQ為平行四邊形．
可得OG=4

3

，BG=8

3

．從而PB=4

3

，OQ=2

3

．
∴t=

AB+BP

4

=

24+4 3

4

=6+

3

．
∴v=

AQ

t

=

12 3 +2 3

6+ 3

=

28 3 -14

11

（cm/s）．
∴點(diǎn)Q的速度為2

3

cm/s或

28 3 -14

11

cm/s．

點(diǎn)評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知點(diǎn)P運(yùn)動的位置進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．