Question

（2005•豐臺區(qū)）在直角坐標系中，⊙O₁經(jīng)過坐標原點O，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B．
（1）如圖，過點A作⊙O₁的切線與y軸交于點C，點O到直線AB的距離為，sin∠ABC=，求直線AC的解析式；
（2）若⊙O₁經(jīng)過點M（2，2），設△BOA的內切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會發(fā)生變化？如果不變，求出其值；如果變化，求其變化的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O作OG⊥AB于G，則OG=．根據(jù)三角函數(shù)分別求出A、C的坐標．利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式為y=x-．
（2）設△AOB的內切圓分別切OA、OB、AB于點P、Q、T，則可求得BQ=BT=OB-，AP=AT=OA-，AB=BT+AT=OB-+OA-=OA+OB-d，則d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB．
在x軸上取一點N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN，求得△BOM≌△ANM，所以有OA+OB=OA+AN=ON=×OM=×2=4，即d+AB的值不會發(fā)生變化，其值為4．
解答：解：（1）如圖1，過O作OG⊥AB于G，則OG=．
設OA=3k（k＞0），
∵∠AOB=90°，sin∠ABC=．
∴AB=5k，OB=4k．
∵OA•OB=AB•OG=2S_△AOB′
∴3k×4k=5×，∴k=1．
∴OA=3，OB=4，AB=5，
∴A（3，0）．
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O₁的直徑．
∵AC切⊙O₁于A，
∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中
∵cos∠ABC=，
∴BC=．
∴OC=BC-OB=．
∴C（0，-）．
設直線AC的解析式為y=kx+b，則
∴．
∴直線AC的解析式為y=x-．

（2）結論：d+AB的值不會發(fā)生變化，
設△AOB的內切圓分別切OA、OB、AB于點P、Q、T，如圖2所示．
∴BQ=BT，AP=AT，OQ=OP=．
∴BQ=BT=OB-，AP=AT=OA-．
∴AB=BT+AT=OB-+OA-=OA+OB-d．
則d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB．
在x軸上取一點N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN．
∵M（2，2），
∴OM平分∠AOB，
∴OM=2，
∴∠BOM=∠MON=45°，
∴AM=BM，
又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN，
∴△BOM≌△ANM，
∴∠BOM=∠ANM=45°，∠ANM=∠MON，
∴OM=NM∠OMN=90°，
∴OA+OB=OA+AN=ON=×OM=×2=4．
∴d+AB的值不會發(fā)生變化，其值為4．
點評：主要考查了一次函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．