Question

如圖，B為線段AD上一點(diǎn)，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長交AD的延長線于點(diǎn)F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點(diǎn)P．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若CP=2，PF=8，求AC的長．

Answer 1

分析：要證明BE是切線，連接OB，證明OB⊥BE即可；由角度關(guān)系可得△ACP∽△FCA，進(jìn)而利用線段的比例代入數(shù)值求解AC的長度．

解答：（1）證明：連接OB；
∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，
∴∠ABC=∠EBD=60°．
∴∠CBE=180°-60°-60°=60°．
又∵∠OBC=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠OBE=∠OBC+∠CBE=90°．
即OB⊥BE．
∴BE是⊙O的切線．

（2）解：連接AP；
則∠APC=∠ABC=∠CAF=60°．
又∵∠ACP=∠FCA，
∴△ACP∽△FCA．
∴

AC

CF

=

CP

AC

，即AC2=CF•CP．
∵CP=2，PF=8，
∴CF=10．
∴AC²=CF•CP=20．
∴AC=2

5

．

點(diǎn)評：熟練掌握切線的性質(zhì)，會利用三角形相似求解一些簡單的計算問題．