Question

已知⊙P的圓心坐標(biāo)為（1.5，0），半徑為2.5，⊙P與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D．
（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點(diǎn)，問：是否存在以線段EF為直徑的圓O'恰好與⊙P相外切？若存在，求出其半徑r及圓心O'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）由已知，得OA=1，OB=4，
∴OD²=OA•OB=1×4，OD=2
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2）；

（2）設(shè)過A、B、D三點(diǎn)多拋物線解析式為y=ax²+bx+c，把A（-1，0）、B（0，-2）的坐標(biāo)代入解析式，得：

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

∴

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

∴過點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)多拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（3）存在．配方y(tǒng)=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

拋物線的對(duì)稱軸為x=

3

2

，圓心O’應(yīng)在對(duì)稱軸上．分兩種情況：
①當(dāng)以線段EF為直徑的圓O′在x軸上方時(shí)，F(xiàn)（

3

2

+r，

5

2

+r）在拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2上，
∴

5

2

+r=

1

2

（

3

2

+r）²-

3

2

（

3

2

+r）-2，
整理得4r²-8r-45=0，
解得r=

9

2

或r=-

5

2

（舍去）
∴半徑r=

9

2

．圓心O′（

3

2

，7）；
②當(dāng)以線段EF為直徑的圓O′在x軸下方時(shí)：F（

3

2

+r，-

5

2

-r）在拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2上，
∴-

5

2

-r=

1

2

（

3

2

+r）²-

3

2

（

3

2

+r）-2，
整理得4r²+8r-5=0，
解得r=

1

2

或r=-

5

2

（舍去）
∴半徑r=

1

2

，圓心O′（

3

2

，-3）．