Question

11．如圖，分別以菱形BCED的對角線BE、CD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax²-6ax-16a（a＜0）過B、C兩點(diǎn)，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，且∠ACB=90°．點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作直線l垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時(shí)，直線l交BD于點(diǎn)M，試探究：
①填空：MQ=-$\frac{1}{4}$m²+m+8；（用含m的化簡式子表示，不寫過程）
②當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形CQBM的面積取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)y=0，可求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由△AOC∽△COB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出OC²=OA•OB，可求出OC的長，從而點(diǎn)C的坐標(biāo)可求出，然后把點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求出a，即可求出拋物線的解析式；
（2）①先由點(diǎn)C，D關(guān)于x軸對稱，得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)B，點(diǎn)D的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)Q（m，-$\frac{1}{4}$m²+m+4），M（m，$\frac{1}{2}$m-4），則QM為Q，M兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差，問題得解；
②過點(diǎn)C作CN⊥QM于N．先由S_{四邊形CQBM}=S_△QMC+S_△QMB，將數(shù)值代入得到S_{四邊形CQBM}=-m²+4m+32，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形CQBM的面積的最大值．

解答 解：（1）令y=0，則ax²-6ax-16a=0，
∵a＜0，
∴x²-6x-16=0，
∴x₁=-2，x₂=8，
∴A（-2，0），B（8，0），
∴OA=2，OB=8．
∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=OA•OB，
∴OC²=2×8=16，
又OC＞0，
∴OC=4，
∴C（0，4）．
把點(diǎn)C（0，4）代入y=ax²-6ax-16a，
得-16a=4，解得a=-$\frac{1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；

（2）①設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)C，D關(guān)于x軸對稱，
∴D（0，-4）．
把點(diǎn)B，點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式，
得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-4．
設(shè)Q（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），M（m，$\frac{1}{2}$m-4），
∴QM=（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4）-（$\frac{1}{2}$m-4）=-$\frac{1}{4}$m²+m+8．
故答案為-$\frac{1}{4}$m²+m+8；
②如圖，過點(diǎn)C作CN⊥QM于N．
∵S_{四邊形CQBM}=S_△QMC+S_△QMB=$\frac{1}{2}$QM•CN+$\frac{1}{2}$QM•PB=$\frac{1}{2}$QM（CN+PB）=$\frac{1}{2}$QM（OP+PB）=$\frac{1}{2}$QM•OB，
∴S_{四邊形CQBM}=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+m+8）×8=-m²+4m+32=-（m-2）²+36，
∴當(dāng)m等于2時(shí)，四邊形CQBM的面積取得最大值，且最大值為36．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、四邊形的面積，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．