Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AC是⊙O的直徑，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延長線于點E．
（1）求證：△ABC∽△DEB；
（2）求證：BE是⊙O的切線；
（3）求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：BDE=∠CAB（圓周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，

∴△ABC∽△DEB；

（2）證明：連結OB，OD，

在△ABO和△DBO中，

，

∴△ABO≌△DBO（SSS），

∴∠DBO=∠ABO，

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，

∴∠DBO=∠BDC，

∴OB∥ED，

∵BE⊥ED，

∴EB⊥BO，

∴OB⊥BE，

∴BE是⊙O的切線．

（3）解：∵△BED∽△CBA，

∴ ，

即 = ，

解得：DE= ．

【解析】（1）根據BDE=∠CAB（圓周角定理）且∠BED=∠CBA=90°即可得出結論；（2）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷OB⊥DE，可得出結論．（3）根據△BED∽△CBA，利用對應邊成比例的性質可求出DE的長度．
【考點精析】利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．