Question

【題目】我們知道，可以單獨(dú)用正三角形、正方形或正六邊形鋪滿地面，如果我們要同時(shí)用兩種不同的正多邊形鋪滿地面，可以設(shè)計(jì)出幾種不同的組合方案？

問(wèn)題解決：

猜想1：是否可以同時(shí)用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合鋪滿地面？

驗(yàn)證1并完成填空：在鋪地面時(shí)，設(shè)圍繞某一個(gè)點(diǎn)有x個(gè)正方形和y個(gè)正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角．根據(jù)題意：可得方程①： ，

整理得②： ，

我們可以找到方程的正整數(shù)解為③： ．

結(jié)論1：鋪滿地面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著④個(gè)正方形和⑤個(gè)正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以同時(shí)用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以鋪滿地面．

猜想2：是否可以同時(shí)用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合鋪滿地面？若能，請(qǐng)按照上述方法進(jìn)行驗(yàn)證，并寫(xiě)出所有可能的方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】猜想1：①：；②2x+3y=8；③ ；猜想2：能．見(jiàn)解析.

【解析】

在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有a個(gè)正三角形和b個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，根據(jù)平面鑲嵌的體積可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，求出正整數(shù)解即可．

解：猜想1：①：

y＝360，

整理，得 ②2x+3y=8，

整數(shù)解為③：

故答案為：；

結(jié)論1：④1⑤2

故答案為1，2；

猜想2：能．

設(shè)圍繞某一個(gè)點(diǎn)有x個(gè)正三角形和y個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角．根據(jù)題意可得方程60x+y＝360，

整理得x+2y=6

所以，

即2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形，或4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形．