Question

（2012•隨州模擬）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC于D點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，連接ED并延長交BA延長線于F點(diǎn)．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）若AB=

5

，AD=1，求線段AF的長；
（3）當(dāng)D為EF的中點(diǎn)時，試探究線段AB與BC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）連接BD，DO，則可得∠ODA=∠OAD，結(jié)合直徑所對的圓周角為90°，可得∠ADB=90°，從而可證明OD⊥DE，也可得出結(jié)論．
（2）設(shè)AF=x，則FD=

FA•FB

=

x(x+ 5 )

（切割線定理），在RT△ABD中，求出BD，然后判斷△AFD∽△DFB，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于x的方程，解出即可得出答案；
（3）根據(jù)切線的性質(zhì)及直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半可判斷出△DEB為等邊三角形，然后可得出∠BCD=30°，繼而可得出線段AB與BC之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：證明：（1）連接BD，DO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即∠OAD+∠ABD=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD．
又∵∠ADF=∠ABD，
∴∠ADF+∠ODA=90°．
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線；

（2）設(shè)AF=x，則FD=

FA•FB

=

x(x+ 5 )

（切割線定理），
在RT△ABD中，BD=

AB2-AD2

=2，
∵∠AFD=∠DFB，∠FDA=∠FBD，
∴△AFD∽△DFB，
∴

DF

FB

=

AD

BD

=

1

2

，即

x(x+ 5 )

x+ 5

=

1

2

，
解得：x=

5

3

，即線段AF的長度為

5

3

；

（3）∵點(diǎn)D為EF中點(diǎn)，
∴BD=FD=DE（斜邊中線等于斜邊一半），
又∵ED=EB（切線的性質(zhì)），
∴△EDB為等邊三角形，
∴∠DBE=60°，∠BCD=30°，
∴BC=

3

AB；

點(diǎn)評：此題屬于圓的綜合題，涉及了解直角三角形、切割線定理切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，考察的知識點(diǎn)較多，解答第二問是本題的難點(diǎn)，關(guān)鍵是表示用AF表示出FD，難度較大．