Question

已知：如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB=3，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A、9
• B、3
• C、

  9

  4

• D、

  9

  2

Answer 1

分析：①在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC²+BC²=AB²，三角形的面積=

1

2

×底×高；
②分別設(shè)以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形的底邊上的高分別為h₁，h₂，h₃，由等腰直角三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，可得出斜邊上的高=

1

2

×斜邊的長(zhǎng)；
③陰影部分的面積=三個(gè)等腰三角形的面積之和．

解答：解：設(shè)以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形的底邊上的高分別為h₁，h₂，h₃，
則h₁=

1

2

AC，h₂=

1

2

BC，h₃=

1

2

AB，
即：陰影部分的面積為：

1

2

×

1

2

×AC×AC+

1

2

×

1

2

×BC×BC+

1

2

×

1

2

×AB×AB=

1

4

（AC²+AB²+BC²），
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC²+BC²=AB²，AB=3，
所以陰影部分的面積為：

1

4

×2AB²=

1

2

×3²=

9

2

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查運(yùn)用勾股定理求出等腰直角三角形三條斜邊之間的關(guān)系，并利用此關(guān)系求出三個(gè)三角形面積之間的關(guān)系，進(jìn)而求出總面積，陰影部分的面積=各個(gè)陰影部分的面積之和．