Question

問(wèn)題提出

我們?cè)诜治鼋鉀Q某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問(wèn)題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過(guò)作差、變形，并利用差的符號(hào)確定他們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M－N，若M－N＞0，則M＞N；若M－N＝0，則M＝N；若M－N＜0，則M＜N．

問(wèn)題解決

如圖1，把邊長(zhǎng)為a＋b(a≠b)的大正方形分割成兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是a、b的小正方形及兩個(gè)矩形，試比較兩個(gè)小正方形面積之和M與兩個(gè)矩形面積之和N的大�。�

解：由圖可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．

∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．

∵a≠b，∴(a－b)²＞0．

∴M－N＞0．

∴M＞N．

類比應(yīng)用

1.已知：多項(xiàng)式M ＝2a²－a＋1 ，N ＝a²－2a ．試比較M與N的大小．

2.已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊

滿足a ＜b ＜ c ，現(xiàn)將△ABC 補(bǔ)成長(zhǎng)方形，使得△ABC的兩個(gè)頂

點(diǎn)為長(zhǎng)方形的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在長(zhǎng)方形的這一邊的對(duì)邊上。                     

     ①這樣的長(zhǎng)方形可以畫(huà)       個(gè)；

②所畫(huà)的長(zhǎng)方形中哪個(gè)周長(zhǎng)最小？為什么？

拓展延伸                                                                                                                               

     已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，畫(huà)其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點(diǎn)在邊BC上，G、H分別在邊AC、AB上，同樣還可畫(huà)AC、AB邊上的內(nèi)接正方形，問(wèn)哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大？為什么？

 

 

Answer 1

 

1.M>N

2.①3個(gè)  ②以最短邊a為邊畫(huà)的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)最小

       拓展延伸：邊上的內(nèi)接正方形面積最大

解析:

（1）M-N==

∴M>N                                3分

(2) ① 3                          4分

②以最短邊a為邊畫(huà)的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)最小.                        5分

理由：設(shè)ΔABC的面積為S，三個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)分別為、、．

易得三個(gè)長(zhǎng)方形的面積相等，均為2S．

=，=，=

－=

∵（）

∴

∴

∵，

∴，

∴

∴<

同理<

∴<<                        8分

拓展延伸：

邊上的內(nèi)接正方形面積最大                        9分

理由: 設(shè)邊上的內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為x，

由ΔAHG∽ΔABC,得

解得x=

由上題得，最小，且(定值)，

∴x為最大

∴邊上的內(nèi)接正方形面積最大                        12分