Question

如圖，在矩形ABCD中，點E為CD上一點，將△BCE沿BE翻折后點C恰好落在AD邊上的點F處，將線段EF繞點F旋轉，使點E落在BE上的點G處，連接CG．
（1）證明：四邊形CEFG是菱形；
（2）若AB=8，BC=10，求四邊形CEFG的面積；
（3）試探究當線段AB與BC滿足什么數量關系時，BG=CG，請寫出你的探究過程．

Answer 1

解：（1）根據翻折的方法可得：EF=EC，∠FEG=∠CEG，
在△EFG和△ECG中，
∵，
∴△EFG≌△ECG（SAS），
∴FG=GC，
∵線段FG是由EF繞F旋轉得到的，
∴EF=FG，
∴EF=EC=FG=GC，
∴四邊形FGCE是菱形；

（2）連接FC，交GE于O點，
根據折疊可得：BF=BC=10，
∵AB=8，
在Rt△ABF中，
根據勾股定理得：AF==6，
∴FD=AD-AF=10-6=4，
設EC=x，則DE=8-x，EF=x，
在Rt△FDE中：FD²+DE²=EF²，即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
在Rt△FDC中：FD²+DC²=CF²，
則：4²+8²=FC²，
解得：FC=4，
∵四邊形FGCE是菱形，
∴FO=FC=2，EO=GE，GE⊥FC，
在Rt△FOE中：FO²+OE²=EF²，即（2）²+EO²=5²，
解得：EO=，
∴GE=2EO=2，
則S_菱形CEFG=×FC×GE=×4×2=20；

（3）當=時，BG=CG，理由為：
由折疊可得：BF=BC，∠FBE=∠CBE，
∵在Rt△ABF中，=，
∴cos∠ABF=，即∠ABF=30°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠FBC=60°，EC=BE，
∴∠FBE=∠CBE=30°，
∵∠BCE=90°，
∴∠BEC=60°，
又∵GC=CE，
∴△GCE為等邊三角形，
∴GE=CG=CE=BE，
∴G為BE的中點，
則CG=BG=BE．
分析：（1）由折疊得到EF=CE，∠FEG=∠CEG，再加上公共邊GE，利用SAS可得出三角形EFG與三角形CEG全等，利用全等三角形的對應邊相等可得出GF=CG，再由FG是線段EF旋轉得到的，故FG=EF，等量代換可得出四邊形EFGC四條邊相等，進而確定出此四邊形為菱形；
（2）連接FC，與GE交于點O，由折疊得到BF=BC=10，在直角三角形ABF中，由AB及BF的長，利用勾股定理求出AF=6，再由矩形的對邊相等得到AD=10，用AD-AF求出FD的長，設DE=x，由EF=CE，用CD-DE表示出CE，即為EF的長，在直角三角形EDF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為ED的長，在直角三角形FDC中，由DC及DF的長，利用勾股定理求出CF的長，根據四邊形EFGC為菱形，對角線互相平分，得到OF為CF的一半，求出OF的長，再由菱形的對角線互相垂直，得到三角形EOF為直角三角形，由EF及OF的長，求出OE的長，根據GE=2OE，得到GE的長，最后利用菱形的對角線乘積的一半即可求出菱形EFGC的面積；
（3）當線段AB與BC滿足=時，BG=CG，理由為：在直角三角形ABF中，利用特殊角的三角函數值及銳角三角函數定義求出∠ABF的度數，進而確定出∠FBC的度數，再由折疊得到∠FBE=∠EBC，求出∠EBC為30°，可得出∠BEC為60°，再由GC=CE得到三角形CGE為等邊三角形，再由30°所對的直角邊EC等于斜邊BE的一半，得到GE為BE的一半，即G為BE的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CG與BG相等都為BE的一半．
點評：此題考查了菱形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，折疊變換及旋轉的性質，矩形的性質，以及含30°直角三角形的性質，熟練掌握性質及判定是解本題的關鍵．