Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求出這個二次函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

；
（3）在x軸是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）在第一象限中的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABQC的面積最大？若存在，請求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閥=ax²+x+c的圖象經(jīng)過A（-2，0），C（0，3），代入求出c、a的值，即可得到答案；
（2）把y=0代入求出x的值，即可得到答案；
（3）在Rt△AOC中根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，①當(dāng)P₁A=AC時（P₁在x軸的負(fù)半軸），P₁（-2-

13

，0）；②當(dāng)P₂A=AC時（P₂在x軸的正半軸），P₂（

13

-2，0）；③當(dāng)P₃C=AC時（P₃在x軸的正半軸），P₃（2，0）；④當(dāng)P₄C=P₄A時（P₄在x軸的正半軸），P₄（

5

4

，0），即可得出答案；
（4）設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)Q在y=-

1

4

x²+x+3上，得出Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-

1

4

x²+x+3），連接OQ，根據(jù)S_{四邊形ABQC}=S_△AOC+S_△OQC+S_△OBQ，代入求出即可．

解答：解：（1）∵y=ax²+x+c的圖象經(jīng)過A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，a=-

1

4

，
∴所求解析式為：y=-

1

4

x²+x+3，
答：這個二次函數(shù)的解析式是y=-

1

4

x²+x+3．

（2）解：（6，0），
故答案為：（6，0）．

（3）解：在Rt△AOC中，
∵AO=2，OC=3，∴AC=

13

，
，①當(dāng)P₁A=AC時（P₁在x軸的負(fù)半軸），P₁（-2-

13

，0）；
②當(dāng)P₂A=AC時（P₂在x軸的正半軸），P₂（

13

-2，0）；
③當(dāng)P₃C=AC時（P₃在x軸的正半軸），P₃（2，0）；
④當(dāng)P₄C=P₄A時（P₄在x軸的正半軸），
在Rt△P₄OC中，設(shè)P₄O=x，則（x+2）²=x²+3²
解得：x=

5

4

，
∴P₄（

5

4

，0）；
答：在x軸存在一點(diǎn)P，使△ACP是等腰三角形，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)是（-2-

13

，0）或（

13

-2，0）或（2，0）或（

5

4

，0）．

（4）解：如圖，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)Q在y=-

1

4

x²+x+3上，
即：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-

1

4

x²+x+3），
連接OQ，
S_{四邊形ABQC}=S_△AOC+S_△OQC+S_△OBQ，
=3+

3

2

x+3（-

1

4

x²+x+3）
=-

3

4

x²+

9

2

x+12，
∵a＜0，
∴S_{四邊形ABQC最大值}=

75

4

，
Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

15

4

），
答：在第一象限中的拋物線上存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABQC的面積最大，Q點(diǎn)坐標(biāo)是（3，

15

4

），面積的最大值是

75

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定，三角形的面積，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．題型較好，綜合性強(qiáng)．