Question

【題目】如圖（1），在中，，，點是斜邊的中點，點，分別在線段，上， 且．

（1）求證：為等腰直角三角形；

（2）若的面積為7，求四邊形的面積；

（3）如圖（2），如果點運動到的延長線上時，點在射線上且保持，還是等腰直角三角形嗎．請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3.5；（3）是，理由見解析．

【解析】

（1）由題意連接AD，并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，進而分析證得為等腰直角三角形；

（2）由題意分析可得S四邊形AEDF=SADF+SADE=SBDE+SCDF，以此進行分析計算求出四邊形的面積即可；

（3）根據題意連接AD，運用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，進而分析證得為等腰直角三角形.

解：（1）證明：如圖①，連接AD.

∵∠BAC=90,AB=AC,點D是斜邊BC的中點，

∴AD⊥BC，AD=BD，

∴∠1=∠B=45°，

∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，

又∵∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，

∴△BDE≌△ADF(ASA),

∴DE=DF,

又∵∠EDF=90°，

∴ΔDEF為等腰直角三角形.

（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，

又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，

∴∠3=∠5，

∴△ADE≌△CDF，

∴S四邊形AEDF=SADF+SADE=SBDE+SCDF，

∴ SABC=2 S四邊形AEDF,

∴S四邊形AEDF=3.5 .

（3）是.如圖②，連接AD.

∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點，

∴AD⊥BC,AD=BD ，

∴∠1=45°，

∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，

∴∠DAF=∠DBE，

∵∠EDF=90°，

∴∠3+∠4=90°，

又∵∠2+∠3=90°，

∴∠2=∠4,

在△BDE和△ADF中，∠DAF=∠DBE，AD=BD,∠2=∠4,

∴△BDE≌△ADF(ASA),

∴DE=DF,

又∵∠EDF=90°，

∴△DEF為等腰直角三角形.