Question

在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直線為x軸，A為坐標原點建立直角坐標系，將等腰梯形ABCD饒A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分別是A﹑B﹑C﹑D旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點）（圖1）
（1）寫出C﹑F兩點的坐標；
（2）等腰梯形ABCD沿x軸的負半軸平行移動，設(shè)移動后的OA=x（圖2），等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y，當點D移動到等腰梯形OEFG的內(nèi)部時，求y與x之間的關(guān)系式；
（3）線段DC上是否存在點P，使EFP為等腰三角形？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求這兩點的坐標其實求出其中一個也就知道另外一個的坐標了，我們求C的坐標即可．如果過點C向x軸引垂線，那么組成的以BC為斜邊的小直角三角形中，兩直角邊的長就都應(yīng)該是2（可根據(jù)BC=2，∠A=∠C=45°，用正弦或余弦函數(shù)就能求出），那么C點的坐標就應(yīng)該是（4，2）．而F點的橫坐標的絕對值等于C點縱坐標的絕對值，F(xiàn)點的縱坐標的絕對值等于C點橫坐標的絕對值，因此F的坐標應(yīng)是（-2，4）．
（2）在（1）中，我們得出了點C的坐標，那么用同樣的方法可得出D點的坐標（2，2），當梯形向左平移x單位后，設(shè)DC與y軸交于H，那么DH=x-2．這樣我們可以根據(jù)重合部分的面積=梯形DHOA的面積-三角形AQO的面積（設(shè)AD、OG交于Q），那么關(guān)鍵是求出三角形AQO的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠GQD=90°，即三角形AQO是個直角三角形，又因為∠AQO=45°，OA=x，那么很明顯三角形AQO的兩直角邊就應(yīng)該是x，那么三角形AQO的面積=×（x）²=x²．在上面我們求出了DH的長，那么梯形AOHD的面積=×（x-2+x）×2=2x-2．因此重合部分的面積=梯形ADHO的面積-三角形AQM的面積=-x²+2x-2．也就求出了x、y的函數(shù)關(guān)系式．
（3）要分三種情況進行討論：
①以E為頂點，EF、EP為腰的等腰三角形，
②以F為頂點，EF、FP為腰的等腰三角形．
③以P為頂點，F(xiàn)P、EP為腰的等腰三角形．
我們根據(jù)（1）的結(jié)果不難得出E點的坐標是（0，6），F(xiàn)點的坐標是（-2，4）．根據(jù)P在DC線上那么，可設(shè)P點坐標是（m，2）．那么可用坐標系中兩點間的距離公式，分別按三種情況進行計算，得出符合條件的m的值．
解答：解：（1）C的坐標是（4，2），F(xiàn)的坐標是（-2，4）

（2）過D作DM⊥AB于M，過C作CN⊥AB于N，
圖（1）中，在直角三角形AMD中，AD=2，∠DOM=45°，
因此DM=AM=2．
因此D點的坐標是（2，2）．
圖（2），當OA=x時，設(shè)DC交y軸于H，AD交GO于Q，那么DH=x-2．
所以梯形AODH的面積=×（DH+OA）×DM=2x-2．
△AQO中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角度為90度．可得：
∠AQO=90°，
又因為∠QAM=45°，
因此AQ=QO=x，
所以△AQO的面積=×AQ×OQ=x²
因此重合部分的面積y=S_梯形AODH-S_△AQO=2x-2-x²
即：y=-x²+2x-2（2＜x＜4）

（3）由于P點在DC線上，設(shè)點P的坐標為（m，2）．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖（1）中，B、C兩點的坐標可知：E點的坐標是（0，6），F(xiàn)點的坐標是（-2，4）．
①當以E為頂點，EF、EP為腰時，EF=EP=2，
因此（2）²=m²+（2-6）²，
即m²+16=8，此方程無解，
因此不存在這種情況．
②當以F為頂點，EF、FP為腰時，EF=FP=2，
因此（2）²=（m+2）²+（2-4）²，即m（m+4）=0，m=-4，m=0．
當m=-4時，P點坐標為（-4，2）．PE==4=2EF，
因此P、E、F在一條直線上構(gòu)不成三角形，
因此此時P點的坐標應(yīng)該是（0，2）．
③當以P為頂點，F(xiàn)P、EP為腰，EP=PF，
因此m²+（2-6）²=（m+2）²+（2-4）²，即m=2．
那么此時P的坐標為（2，2）．
綜上所述，存在符合條件的P點且坐標為（2，2）或（0，2）．
點評：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題中根據(jù)梯形的性質(zhì)得出梯形旋轉(zhuǎn)前后各頂點的坐標是解題的關(guān)鍵．