Question

如圖，一元二次方程x²+2x﹣3=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂）是拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點B，C的橫坐標，且此拋物線過點A（3，6）．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）設此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC相交于點G，則P點坐標為（    ），G點坐標為（    ）；
（3）在x軸上有一動點M，當MG+MA取得最小值時，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）解方程x²+2x﹣3=0
得x₁=﹣3，x₂=1．
∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為：C（﹣3，0），B（1，0），
設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1）．
∵A（3，6）在拋物線上，
∴6=a（3+3）·（3﹣1），
∴a=，
∴拋物線解析式為y=x²+x﹣．
（2）由y=x²+x﹣=（x+1）²﹣2，
∴拋物線頂點P的坐標為（﹣1，﹣2），對稱軸方程為x=﹣1．
設直線AC的方程為y=kx+b，
∵A（3，6），C（﹣3，0）在該直線上，
∴，
∴直線AC的方程為：y=x+3．
將x=﹣1代入y=x+3得y=2，
∴G點坐標為（﹣1，2）．
（3）作A關于x軸的對稱點A′（3，﹣6），連接A′G，A′G與x軸交于點M即為所求的點．
設直線A′G的方程為y=kx+b．
∴，
∴直線A′G的方程為y=﹣2x，
令x=0，則y=0．
∴M點坐標為（0，0）．