Question

已知拋物線l₁：y=ax²-2amx+am²+2m+1（a＞0，m＞0）的頂點為A，拋物線l₂的頂點B在y軸上，且拋物線l₁和l₂關于P（1，3）成中心對稱．
（1）當a=1時，求l₂的解析式和m的值；
（2）設l₂與x軸正半軸的交點是C，當△ABC為等腰三角形時，求a的值．

Answer 1

分析：（1）首先求出頂點坐標，再代入直線解析式，分析得出二次函數解析式，利用相似△BPE∽△BAF，得出m的值；
（2）假設△ABC為等腰三角形，根據等腰三角形的性質分析得出C點的坐標，從而求出解析式．

解答：解：（1）當a=1時，∵y=ax²-2amx+am²+2m+1=（x-m）²+2m+1，
∴頂點A（m，2m+1），
又∵P（1，3），
設AB的解析式是y=kx+b，
把點A，P的坐標代入得：

2m+1=km+b    ① 3=k+b                ②

①-②，得：2m-2=（m-1）k，
∵m≠1（若m=1，則A，B，P三點重合，不合題意），
∴k=2，b=1，
∴AB的解析式是y=2x+1，得l₂的頂點B（0，1），
∵拋物線l₁和l₂關于P（1，3）成中心對稱．
∴拋物線的開口大小相同，方向相反，得l₂的解析式是：y=-x²+1，
∵點A，B關于點P（1，3）成中心對稱，做PE⊥y軸，于點E，做AF⊥y軸于點F，則
△BPE∽△BAF，所以AF=2PE，即m=2；

（2）在Rt△ABF中，∵AB=

22+42

=2

5

＜5，
∴當△ABC為等腰三角形時，只有以下兩種情況：
如圖：若BC=AB=2

5

，則OC=

BC2-OB2

=

19

，
得C（

19

，0）
∵C（

19

，0）在y=-ax²+1上，
∴a=

1

19

．

如圖：若AC=BC，設C（X，0），做AD⊥x軸于點D，在Rt△OBC中，BC²=x²+1，
在Rt△ADC中，AC²=（x-2）²+25，由x²+1=（x-2）²+25，
解得：x=7，
∵C（7，0）在y=-ax²+1上，所以a=

1

49

，
綜上所述，滿足△ABC為等腰三角形a的值有兩個：a=

1

19

，a=

1

49

．

點評：此題主要考查了中心對稱的性質，以及二次函數的對稱性和等腰三角形的判定，題目綜合性較強，注意從已知入手細心分析．