Question

【題目】如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣4）與x軸相交于點A、B（點A在點B的左側），與x軸相交于點C，點D在線段CB上（點D不與B、C重合），過點D作CA的平行線，與拋物線相交于點E，直線BC的解析式為y=kx+2．

（1）拋物線的解析式為；
（2）求線段DE的最大值；
（3）當點D為BC的中點時，判斷四邊形CAED的形狀，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）y= x2﹣ x+2
（2）

解：如圖1，過點D、E分別作y軸、x軸的平行線，兩線相交于點F，

當y=0時， （x﹣1）（x﹣4）=0，解得x1=1，x2=4，則A（1，0），B（4，0），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把C（0，2），B（4，0）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+2，

設E（m， m2﹣ m+2），EF=n，則D（m﹣n，﹣ m+ n+2），

∴DF=﹣ m+ n+2﹣（ m2﹣ m+2）=﹣ m2+2m+ n，

∵OC∥DF，

∴∠OCB=∠FDB，

∵DE∥CA，

∴∠ACB=∠EDB，

∴∠OCA=∠FDE，

∴Rt△OCA∽Rt△FDE，

∴ = ，

∴ = = =2，

∴﹣ m2+2m+ n=2n，

∴n=﹣ m2+ m，

在Rt△DEF中，DE= = EF= n=﹣ m2+ m，

∵DE=﹣ （m﹣2）2+ ，

∴當m=2時，DE的長有最大值，最大值為 ；

（3）

解：四邊形CAED為菱形．理由如下：

AC= = ，BC= =2 ，

∵點D為BC的中點，

∴D（2，1），CD= ，

易得直線AC的解析式為y=﹣2x+2，

設直線DE的解析式為y=﹣2x+p，

把D（2，1）代入得1=﹣4+p，解得p=4，

∴直線DE的解析式為y=﹣2x+5，

解方程組 得 或 ，則E（3，﹣1），

∴DE= = ，

∴AC=DE，

而AC∥DE，

∴四邊形CAED為平行四邊形，

∵CA=CD，

∴四邊形CAED為菱形．

【解析】解：（1）當x=0時，y=kx+2=2，則C（0，2），
把C（0，2）代入y=a（x﹣1）（x﹣4）得a（﹣1）（﹣4）=2，解得a= ，
∴拋物線解析式為y= （x﹣1）（x﹣4），即y= x2﹣ x+2；
所以答案是y= x2﹣ x+2；
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．