Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，射線AM是∠A外角的平分線，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A、B重合)，點(diǎn)F在射線AM上，且AF=√2BE，CF與AD相交于點(diǎn)G，連結(jié)EC、EF、EG．

（1）求證：CE=EF；

（2）求△AEG的周長(zhǎng)(用含a的代數(shù)式表示)

（3）試探索：點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)至什么位置時(shí)，△EAF的面積最大?

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2a；（3）點(diǎn)在邊中點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，依據(jù)SAS證明，即可求證；

（2）先在（1）的基礎(chǔ)上繼續(xù)證明是等腰直角三角；把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至位置，即可證明（SAS），從而得到，繼而得到△AEG的周長(zhǎng)；

（3）設(shè)，由（1）得，建立二次函數(shù)，即可求出最值.

（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則

平分，

是等腰直角三角形，

，，

，

又

（2）

又在中，

由（1）知，

是等腰三角形，

把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至位置，如圖所示．

，，

，

又

（SAS）

（3）設(shè)，由（1）得

則

當(dāng)，即點(diǎn)在邊中點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為．