Question

如圖所示，二次函數(shù)y=ax²+bx+1（a≠0）的圖像與x軸分別交于A（-，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C。
（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D，且以A、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請(qǐng)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，將A（-，0）、B（2，0）代入中得， 解這個(gè)方程，得， ∴該拋物線的解析式為 當(dāng)x=0時(shí)，y=1， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1） ∴在Rt△AOC中， 在Rt△BOC中，， ∵ ∴△ABC是直角三角形；
（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，1）；
（3）存在， 由（1）知，AC⊥BC， ①若以BC為底邊，則BC∥AP， 如圖1所示，可求得直線BC的解析式為， 把A（-，0）代入直線AP的解析式， 求得， ∴直線AP的解析式為 ∵點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線AP上 ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即 解得，（舍去） 當(dāng)時(shí)， ∴點(diǎn)P（，-） ②若以AC為底邊，則BP∥AC， 如圖2所示，可求得直線AC的解析式為y=2x+1， 直線BP可以看作是由直線AC平移得到的， 所以設(shè)直線BP的解析式為y=2x+b2， 把B（2，0）代入直線BP的解析式， 求得b2=-4， ∴直線BP的解析式為y=2x-4 ∵點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線BP上 ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等 即， 解得（舍去） 當(dāng)時(shí)，y=-9， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，-9） 綜上所述，滿(mǎn)足題目條件的點(diǎn)P為（，-）或（-，-9）。