Question

在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，點(diǎn)M在BC上．
（1）若BM=3時(shí)，求點(diǎn)D到直線AM的距離；
（2）若AM⊥DM，求BM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DH⊥AM垂足為H，根據(jù)AB=4，BM=3利用勾股定理得AM=5，然后利用sin∠DAM=sin∠AMB=

4

5

=

DH

10

即可求得DH=

4

5

×10=8；
（2）根據(jù)AM⊥DM，得到∠AMB+∠DMC=90°，然后再根據(jù)∠AMB+∠BAM=90°得到∠BAM=∠DMC，從而證得△ABM∽△DMC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等得到

BM

DC

=

AB

MC

，從而得到BM²-10BM+16=0，解得BM即可．

解答：解：（1）如圖（2），
過點(diǎn)D作DH⊥AM垂足為H，
∵AB=4，BM=3
∴AM=5．
∴sin∠DAM=sin∠AMB=

4

5

=

DH

10

，
∴DH=

4

5

×10=8，
（2）如圖（3）
∵AM⊥DM，
∴∠AMB+∠DMC=90°，
∵∠AMB+∠BAM=90°
∴∠BAM=∠DMC
∴△ABM∽△MCD，
∴

BM

DC

=

AB

MC

BM

4

=

4

10-BM

∴BM²-10BM+16=0，解得，BM=2或BM=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，屬于綜合題，難度適中．