Question

圖1是由五個(gè)邊長(zhǎng)都是1的正方形紙片拼接而成的，過(guò)點(diǎn)A₁的直線分別與BC₁、BE交于點(diǎn)M、N，且圖1被直線MN分成面積相等的上、下兩部分．

（1）求

1

MB

+

1

NB

的值；
（2）求MB、NB的長(zhǎng)；
（3）將圖1沿虛線折成一個(gè)無(wú)蓋的正方體紙盒（圖2）后，求點(diǎn)M、N間的距離．

Answer 1

分析：（1）本題可通過(guò)相似三角形A₁B₁M和NBM得出的關(guān)于NB，A₁B₁，MB，MB₁的比例關(guān)系式來(lái)求，比例關(guān)系式中A₁B₁，BB₁均為正方形的邊長(zhǎng)，長(zhǎng)度都是1，因此可將它們的值代入比例關(guān)系式中，將所得的式子經(jīng)過(guò)變形即可得出所求的值；
（2）由于直線MN將圖（1）的圖形分成面積相等的兩部分，因此△BMN的面積為

5

2

，由此可求出MB•NB的值，根據(jù)（1）已經(jīng)得出的MB+NB=MB•NB可求出MB+NB的值，由此可根據(jù)韋達(dá)定理列出以MB，NB為根的一元二次方程，經(jīng)過(guò)解方程即可求出MB、NB的值；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，不難得出B₁M=EN，由于折疊后E與B點(diǎn)重合，因此B₁M=BN，那么四邊形B₁MNB是個(gè)矩形，因此MN的長(zhǎng)為正方形的邊長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵△A₁B₁M∽△NBM且A₁B₁=BB₁=1，
∴

NB

A1B1

=

MB

MB1

，
即

NB

1

=

MB

MB-1

整理，得MB+NB=MB•NB，
兩邊同除以MB•NB得

1

MB

+

1

NB

=1；

（2）由題意得

1

2

MB•NB=

5

2

，
即MB•NB=5，
又由（1）可知MB+NB=MB•NB=5，
∴MB、NB分別是方程x²-5x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
解方程，得x₁=

5+ 5

2

，x₂=

5- 5

2

；
∵M(jìn)B＜NB，
∴MB=

5- 5

2

，NB=

5+ 5

2

；

（3）由（2）知B₁M=

5- 5

2

-1=

3- 5

2

，
EN=4-

5+ 5

2

=

3- 5

2

，
∵圖（2）中的BN與圖（1）中的EN相等，
∴BN=B₁M；
∴四邊形BB₁MN是矩形，
∴MN的長(zhǎng)是1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)．