Question

【題目】如圖，反比例函數(shù)y= （x＞0）與一次函數(shù)y=kx+6 交于點(diǎn)C（2，4 ），一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以相同的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤6），以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P與AB交于點(diǎn)M，與OA交于點(diǎn)N，連接MN、MQ．

（1）求m與k的值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)N重合；
（3）若△MNQ的面積為S，試求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將C（2，4 ）代入y= 中得，m=8

將（2，3 ）代入y=kx+6 中得，2k+6 =4

∴k=﹣

（2）

解：由（1）知，k=﹣ ，

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+6 ，

∴A（6，0），B（0，6 ），

∴AB=12

∵AM是直徑

∴∠ANM=90°，

∴∠ANM=∠AOB

又∵∠MAN=∠BAO，

∴△MAN∽△BAO，

∴

∵OQ=AP=t，AM=2AP=2t，OA=6，OB=6 ，AB=12

∴

∴AN=t，MN= t

∴ON=OA﹣AN=6﹣t

∵點(diǎn)Q與點(diǎn)N重合

∴ON=OQ

即6﹣t=t

∴t=3

（3）

解：①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，QN=OA﹣OQ﹣AN=6﹣2t

∴S= QNMN= （6﹣2t） t=﹣ t2+3 t

②當(dāng)3＜t≤6時(shí)，QN=OQ+NA﹣OA=t+t﹣6=2t﹣6

∴S= QNMN= （2t﹣6） t= t2﹣3 t，

即：S=

【解析】（1）利用待定系數(shù)法直接求出m和k；（2）先求出AB，進(jìn)而判斷出△MAN∽△BAO，利用比例式得出AN和MN，即可得出ON，利用ON=OQ建立方程求解即可；（3）分兩種情況利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握確定一次函數(shù)的表達(dá)式和相似三角形的判定是解答本題的根本，需要知道確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）．