Question

閱讀下面的情景對話，然后解答問題：

（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；
（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E，使AE=AD，CB=CE．
①求證：△ACE是奇異三角形；
②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質，求證即可；
（2）根據勾股定理與奇異三角形的性質，可得a²+b²=c²與a²+c²=2b²，用a表示出b與c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理與圓的性質即可證得；
②利用（2）中的結論，分別從AC：AE：CE=1：：與AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得結果．
解答：解：（1）設等邊三角形的一邊為a，則a²+a²=2a²，
∴符合奇異三角形”的定義．
∴是真命題；

（2）∵∠C=90°，
則a²+b²=c²①，
∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②，
由①②得：b=a，c=a，
∴a：b：c=1：：；

（3）∵①AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵點D是半圓的中點，
∴=，
∴AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∴AC²+CB²=2AD²，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²，
∴△ACE是奇異三角形；

②由①可得△ACE是奇異三角形，
∴AC²+CE²=2AE²，
當△ACE是直角三角形時，
由（2）得：AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：：1，
當AC：AE：CE=1：：時，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°；
當AC：AE：CE=：：1時，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°．
∴∠AOC的度數為60°或120°．
點評：此題考查了新定義的知識，勾股定理以及圓的性質，三角函數等知識．解題的關鍵是理解題意，抓住數形結合思想的應用．