Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，點P、Q分別是BC邊和AB邊上的動點，點P從點C向點B運動，點Q從點A向點B運動，QR⊥BC，垂足為R，設P、Ｑ同時運動，并且當P運動4單位長度時，Q運動5（1-x）單位長度，是否存在x的值，使以P、Q、R為頂點的三角形與△ACP相似？若存在，求出所有x的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：存在x的值，使以P、Q、R為頂點的三角形與△ACP相似，BQ=5x，
由相似三角形求得BR=4x，QR=3x
①當P在C、R之間時，PR=4-8x，若△PRQ∽△ACP，則PR∶AC=RQ∶CP，得，
∴x=，
若△QRP∽△ACP，則QR∶AC=RP∶CP，即x²+2x-1=0，
∴x₁=-1，x₂=--1（舍去）；
②當P在B、R之間時，PR=8x-4
若△PRQ∽△ACP，則PR∶AC=RQ∶CP，得
∴x=，
若△QRP∽△ACP，則QR∶AC=RP∶CP，即x²-2x+1=0，
∴x₁=x₂=1（舍去），
綜上所述，存在x的值，x₁=-1，x₂=，x₃=。