Question

如圖，BC是⊙O的直徑，A是弦BD延長線上一點，切線DE平分AC于E．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若AD：DB=3：2，AC=15，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）要證AC是⊙O的切線，只要證∠BCA=90°即可；
（2）切割線定理得出關于AD，AB的比例式，求出AB的長，再用勾股定理求出求⊙O的直徑．

解答：（1）證明：連接OD，CD；
∵切線DE平分AC于E，
∴∠ODE=90°，
∵BC是⊙O的直徑，
∴在Rt△ADC中DE=CE；
∵OE=OE，OD=OC，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切線．

（2）解：∵AC是⊙O的切線；
∴AC•AC=AD•AB=AD•（AD+BD）AD：DB=3：2，
∴AD=3

15

，AB=5

15

，
∴BC=5

6

．

點評：本題考查了切線的判定，切割線定理和勾股定理的綜合運用．