Question

如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線(xiàn)AG∥BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線(xiàn)AG以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BC以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）連接EF，當(dāng)EF經(jīng)過(guò)AC邊的中點(diǎn)D時(shí)，求證：△ADE≌△CDF．
（2）①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACFE是平行四邊形；②當(dāng)t為何值時(shí)，以A、F、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形．

Answer 1

分析：1）由題意得到AD=CD，再由AG與BC平行，利用兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，利用AAS即可得證；
（2）①若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可；
②分兩種情況考慮：
情形一：四邊形AFCE為直角梯形時(shí)，AF⊥BC或CE⊥AG．
情形二：若四邊形ACFE是直角梯形時(shí)，此時(shí)EF⊥AG．

解答：（1）證明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D為AC的中點(diǎn)，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，

∠EAD=∠DCF ∠ADE=∠CDF AD=CD

，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）解：①由題意得：AE=2t，CF=3t-6．
若四邊形ACFE是平行四邊形，則有CF=AE，則2t=3t-6，
解得t=6．
所以，當(dāng)t=6時(shí)，四邊形ACFE是平行四邊形；
②情形一：四邊形AFCE為直角梯形時(shí)，AF⊥BC或CE⊥AG．
當(dāng)AF⊥BC時(shí)，則BF=3t=3，解得t=1，符合題意；
當(dāng)CE⊥AG，則AE=2t=3，解得t=1.5，符合題意．
情形二：若四邊形ACFE是直角梯形時(shí)，此時(shí)EF⊥AG．
則BF-AE=3，即3t-2t=3，解得t=3，符合題意；
綜上所述，當(dāng)t=1s、1.5s或3s時(shí)，以A、F、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及直角梯形，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．