Question

【題目】如圖，已知拋物線經過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，直線是拋物線的對稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式及頂點D的坐標；

（2）設點P是直線上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；

（3）在直線上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），D(1，4)；（2）P (1，2)；（3）存在，M的坐標為(1，)或(1，)或(1，1)或(1，0)

【解析】(1)直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可．

(2)由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點．

(3)由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．

解：（1）由拋物線y=ax2+bx+c經過A(-1，0)，B(3，0)，兩點

∴設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），

又∵拋物線過點C(0，3)， ∴3=-3a，∴a=-1，

∴y=-(x+1)(x-3)，即y=-x2+2x+3，

（2）連接BC，則直線BC與直線的交點即為使△PAC的周長最小的點P.

設直線BC的解析式為y=kx+b， 將B(3，0)，C(0，3)代入

得， ∴，

∴直線BC的函數(shù)關系式y(tǒng)=-x+3，

∵對稱軸為直線x=1，

∴當x=1時，y=2即點P的坐標為(1，2) .

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況討論：

①MA=MC ②MA=AC ③AC=MC

∵拋物線的對稱軸為x=1，∴設M(1，m)

∵A(-1，0)，C(0，3) ∴MA2=m2＋4 MC2=m2－6m+10 AC2=10

①若MA=MC 則MA2=MC2 ∴m2＋4= m2－6m+10 ∴m=1，

②若MA=AC 則MA2=AC2 ∴m2＋4=10，∴m=±

③若MC=AC 則MC2=AC2 ∴m2－6m+10=10，∴m=0或m=6，

當m=6時，M、A、C三點共線，構不成在角形(舍去). 綜上可知：存在符合條件的點M，且坐標為(1， )或(1， )或(1，1)或(1，0) .

“點睛”熟知上述性質概念，本題綜合性很強，運用的知識點很多，要認真審題才可解之，還需做輔助線求得，在二問中有兩個答案易漏求，求得方法也不唯一，三問中可求有五個點，有一個不合題意需舍去，難度較大，屬于難題.