Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，OE∥AB，交BC于點E，連接DE，交OC于點F，作FG∥AB，交BC于點G．
（1）求證：

CF

FO

=2；
（2）求證：點G是線段BC的一個三等分點；
（3）請依照上面畫法，在原圖上畫出BC的一個四等分點（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）．

Answer 1

分析：（1）由OE∥AB，O是AC中點，可得

OE

AB

=

1

2

，又OE∥CD，又有

CF

FO

=

CD

OE

，而AB=CD，那么可證

CF

FO

=2；
（2）有FG∥AB，OE∥AB，則FG∥OE，再利用（1）的結論，可得

CG

EG

=2，即G是CE的三等分點；
（3）連接DG，交OC于H，過H作HM∥AB，交BC于M，M就是BC的四等分點．

解答：（1）證明：∵ABCD是平行四邊形，
∴O是AD的中點．
∵OE∥AB，
∴OE=

1

2

AB=

1

2

CD．
∴

CF

FO

=

CD

OE

=2．

（2）證明：∵FG∥AB，
∴

CF

CA

=

CG

CB

．
∵

CF

FO

=2，OA=OC，
∴

CF

CA

=

1

3

．
∴

CG

CB

=

1

3

．
∴點G是線段BC的一個三等分點．

解：（3）連接DG，交OC于點H，作HP∥AB，交BC于點P，則點P是線段BC的一個四等分點（如圖）．

點評：本題利用三角形中位線性質，判定，以及平行線分線段成比例性質等知識．