Question

（2004•煙臺(tái)）如圖，圓M與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A（-3，0），B（1，0），直徑CD垂直于x軸于N，直線CE切圓M于C，直線FG切圓M于F，交CE于G，已知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為3，
（1）若拋物線y=-x²-2x+m經(jīng)過(guò)A，B，D三點(diǎn)，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求直線DF的解析式；
（3）是否存在過(guò)點(diǎn)G的直線，使它與（1）中拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于4？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A或B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)m的值，進(jìn)而可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱性知，點(diǎn)D即為拋物線的頂點(diǎn)，由此得解．
（2）已知了點(diǎn)D的坐標(biāo)，需求出直線DF上另一點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)A、B、D的坐標(biāo)，可求得AN、BN、DN的長(zhǎng)，根據(jù)相交弦定理知：DN•NC=AN•BN，由此可求得NC的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線CE的解析式，設(shè)直線DF與直線CE的交點(diǎn)為E，連接CF，根據(jù)圓周角定理可知△CFP是直角三角形，而CG、CF同為⊙M的切點(diǎn)，即CG=GF，所以點(diǎn)G即為斜邊CP的中點(diǎn)，由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)D、P的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求得直線DF的解析式．
（3）設(shè)出過(guò)點(diǎn)G的直線解析式，將點(diǎn)G坐標(biāo)代入其中，即可消去一個(gè)待定系數(shù)，然后聯(lián)立拋物線的解析式，若兩個(gè)函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)和為4，那么聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式所得方程的兩根之和為4，可據(jù)此求出直線解析式中待定系數(shù)的值，然后再判斷方程的根的判別式是否大于0即可，若大于0，則說(shuō)明存在符合條件的直線，反之則不存在．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²-2x+m過(guò)點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，
∴-3×1=-m，
∴拋物線為y=-x²-2x+3，
又∵拋物線過(guò)點(diǎn)D，由圓的對(duì)稱性知點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）．

（2）由題意知AB=4，
∵CD⊥x軸，
∴NA=NB=2，
∴ON=1，
由相交弦定理得NA•NB=ND•NC，
∴NC×4=2×2，NC=1，
∴C的坐標(biāo)為（-1，-1），
設(shè)直線DF交CE于P，連接CF，得∠CFP=90°，
∵CG，F(xiàn)G為圓M的切線，
∴FG=GC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠FPC，
∴FG=GP，
∴GC=GP，
可得CP=8，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，-1）；
設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b（k≠0），
則
解得
∴直線DF的解析式為y=-x+；

（3）假設(shè)存在過(guò)G的直線y=k₁x+b₁，
則3k₁+b₁=-1，
∴b₁=-3k₁-1，
解方程組，
得x²+（2+k₁）x-3k₁-4=0，
由題意得-2-k₁=4，
∴k₁=-6，
∴△=-40＜0，
∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴方程組無(wú)實(shí)數(shù)解；
∴滿足條件的直線不存在．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圓和拋物線的對(duì)稱性、圓周角定理、相交弦定理、直角三角形的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、根的判別式等知識(shí)，涉及知識(shí)面較廣，難度較大．