Question

如圖所示，△ABC中，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．
求證：（1）△DCF是直角三角形；（2）DE=EF．

Answer 1

分析：（1）由DC平分∠ACB，CF平分∠ACM，根據(jù)角平分線的定義，可求得∠DCF=90°，即△DCF是直角三角形；
（2）由DF∥BC，DC平分∠ACB，CF平分∠ACM，易得△CDE與△CEF是等腰三角形，繼而證得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵DC平分∠ACB，CF平分∠ACM，
∴∠ACD=

1

2

∠ACB，∠ACF=

1

2

∠ACM，
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=

1

2

（∠ACB+∠ACM）=90°，
∴△DCF是直角三角形；

（2）∵DF∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，∠F=∠FCM，
∵DC平分∠ACB，CF平分∠ACM，
∴∠ACD=∠BCD，∠ACF=∠FCM，
∴∠EDC=∠ACD，∠F=∠ACF，
∴ED=EC，EC=EF，
∴DE=EF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．