Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)（-3，12a），對(duì)稱軸是直線x=1．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△POC的面積和△PBC的面積比為1：5？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)N在拋物線上，要使以M、N、O、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用對(duì)稱軸x=-

b

2a

=1，以及將（-3，12a）代入y=ax²+bx-1，即可聯(lián)立兩式求出a，b的值；
（2）利用已知可以求出△POC的面積，再利用△POC的面積和△PBC的面積比為1：5得出△PBC的面積，進(jìn)而求出PD的長(zhǎng)，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合圖形得出若以O(shè)B為一邊以及以O(shè)B為對(duì)角線時(shí)，分別得出N點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）對(duì)稱軸x=-

b

2a

=1①，
將（-3，12a）代入y=ax²+bx-1得，12a=9a-3b-1②，
聯(lián)立①②得：

- b 2a =1 12a=9a-3b-1

，
解得：

a= 1 3 b=- 2 3

，
拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=

1

3

x²-

2

3

x-1；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，則C的坐標(biāo)為（0，-1），即CO=1，
y=0時(shí)，0=

1

3

x²-

2

3

x-1；
（x+1）（x-3）=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵P在直線x=1上，△POC的面積和△PBC的面積比為1：5，
∴S_△POC=

1

2

×CO×PE=

1

2

×1×1=

1

2

，S_△PBC=

5

2

，
連接BC，交x=1于D，
∵S_△PBC=

1

2

×PD×BO，
∴

5

2

=

1

2

×DP×3，
∴PD=

5

3

，
設(shè)BC：y=k₁x-1，
∴3k₁-1=0，
∴k₁=

1

3

，
∴y=

1

3

x-1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-

2

3

，則D點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，-

2

3

），
∵PD=

5

3

，
∴P點(diǎn)可能在D點(diǎn)上面，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；也可能在D點(diǎn)下面，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-

7

3

）；
∴存在P，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）或（1，-

7

3

）；

（3）①如圖2，若以O(shè)B為一邊，設(shè)M（1，y₀），則N（x₀，y₀），
又|MN|=|x₀-1|，|OB|=3，
∵四邊形MNOB為平行四邊形，
∴|MN|=|OB|，
∴|x₀-1|=3，
∴x₀-1=±3，
∴x₀=4或-2，
∴N₁（4，

5

3

），N₂（-2，

5

3

）；
②如圖3，若以O(shè)B為對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥OB于點(diǎn)F，直線x=1交OB于點(diǎn)E，
∴∠OEM=∠BFN，
∵平行四邊形OMBN，
∴OM∥BN，OM=BN，
∴∠MOE=∠NBF，
即

∠MOE=∠NBF ∠NFB=∠OEM MO=BN

，
∴△OEM≌△BFN（AAS），
∴OE=BF=1，
∴OF=2，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=-1，
∴N₃（2，-1）．
綜上所述，N點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，

5

3

）或（-2，

5

3

）或（2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)與判定和三角形面積求法等知識(shí)，根據(jù)已知結(jié)合圖形以及利用分類討論思想得出是解題關(guān)鍵．