Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F．

（1）求證：DE為⊙O的切線．
（2）求證：AB：AC=BF：DF．

Answer 1

證明：（1）連接DO、DA，

∵AB為⊙O直徑，∴∠CDA=∠BDA=90°。
∵CE=EA，∴DE=EA�！唷�1=∠4。
∵OD=OA，∴∠2=∠3。
∵∠4+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，即：∠EDO=90°。
∴DE⊥OD。
∵OD是半徑，∴DE為⊙O的切線。
（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠4=∠DBA。
∵∠CDA=∠BDA=90°，∴△ABD∽△CAD。
∴。
∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，
又∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO�！唷�3=∠FDB。
∵∠F=∠F，∴△FAD∽△FDB�！�。
∴，即AB：AC=BF：DF。

試題分析：（1）連接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）證△ABD∽△CAD，劉，證△FAD∽△FDB，得，即可得出AB：AC=BF：DF。