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        1. (2012•宜昌一模)如圖1,頂點為B(r,t+6),的拋物線y=ax2+bx+c過點A(0,6),t≠0,連接AB,P是線段AB上的動點,過點P作x軸的垂線(垂足為D),交拋物線y=ax2+bx+c于點C,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,AC、AB、BC圍成的圖形面積為S,點P,C之間的距離為d,s是m的二次函數(shù),圖象如圖2所示,Q為頂點,O,E為其與m軸的兩個交點.
          (1)求s與m的函數(shù)關(guān)系;
          (2)求r的值;
          (3)求d與m函數(shù)關(guān)系式;
          (4)求拋物線y=ax2+bx+c的表達(dá)式.
          分析:(1)根據(jù)2可得出拋物線頂點Q的坐標(biāo)為(2,4),且過點E(4,0),然后設(shè)s=a(m-2)2+4,將點E(4,0)代入,可得出a的值,繼而可得出s與m的函數(shù)關(guān)系式.
          (2)根據(jù)圖1當(dāng)點P與A或B重合時,s=0,結(jié)合圖2,s=0時點P的橫坐標(biāo),可得出點B的橫坐標(biāo)為4,即可得出r的值.
          (3)過點A作直線PC,直線x=4的垂線,垂足分別為M,N,且AN=4,然后將a用t表示出來,求出直線AB的解析式,得出點P、點C的坐標(biāo),根據(jù)PC=d,結(jié)合當(dāng)m=2時,d=2,可得出t的值,繼而可得出拋物線的解析式.
          解答:解:(1)由圖2可知,拋物線的頂點Q(2,4),且過點E(4,0),
          設(shè)S=a(m-2)2+4,
          將點E(4,0)代入得,0=a(4-2)2+4,
          解得:a=-1,
          故可得:S=-(m-2)2+4.
          (2)由圖1可知,當(dāng)點P與A或B重合時,s=0,由圖2知,此時點P的橫坐標(biāo)為0或4,
          所以點B(4,t+6),從而r=4.
          (3)過點A作直線PC,直線x=4的垂線,垂足分別為M,N,且AN=4,
          ∵S=
          1
          2
          PC•AM+
          1
          2
          PC•MN=
          1
          2
          AN•PC=2PC=2d,
          ∴d=
          1
          2
          s
          =-
          1
          2
          (m-2)2+2=-
          1
          2
          m2+2m.
          (4)拋物線y=ax2+bx+c的頂點B(4,t+6),且過A(0,6),
          可設(shè)拋物線為y=a(x-4)2+t+6,
          將A(0,6)代入得:6=16a+t+6,
          解得:a=-
          1
          16
          t
          ,
          所以y=-
          1
          16
          t
          (x-4)2+t+6,
          因為直線AB過A(0,6),可設(shè)其解析式為y=kx+6,
          將B(4,t+6)代入得,t+6=4k+6,解得,k=
          1
          4
          t
          ,所以直線AB:y=
          1
          4
          tx+6,
          因而點P(m,
          1
          4
          t
          m+6 ),點C( m,-
          1
          16
          t
          (m-4)2+t+6 ),
          PC=d=
          1
          4
          t
          m+6-[-
          1
          16
          t
          (m-4)2+t+6]=
          1
          16
          t
          m2-
          1
          4
          t
          m,
          因為當(dāng)m=2時,d=2,所以
          1
          16
          t
          ×22-
          1
          4
          t
          ×2=2,即解得t=-8,
          因而所求拋物線為y=
          1
          2
          (x-4)2-2.
          點評:此題屬于二次函數(shù)的綜合題,涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積、二次函數(shù)的圖象,亮點在于兩個二次函數(shù)圖象的結(jié)合,要求我們能正確從圖象中獲取信息,解答本題的難點在第三問,過程比較繁瑣,注意仔細(xì)思考.
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