Question

（2012•義烏市模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，等腰梯形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c上，其中點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，且CD∥AB，已知S_梯形ABCD=8，tan∠DAO=4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，-1）．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若△OEB從點(diǎn)B開(kāi)始以

5

個(gè)單位每秒的速度沿BD向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
t秒，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)邊OE與線(xiàn)段AD相交時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的取值范圍；
（3）能否將△OEB繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后使得△OEB的兩個(gè)頂點(diǎn)落在x軸上方的拋物線(xiàn)上？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等腰梯形ABCD的面積為8求得點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在線(xiàn)段AD上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上時(shí)，利用△DO₁G∽△DAO求得t的值即可；
（3）分為3種情況，①旋轉(zhuǎn)后OE在拋物線(xiàn)上；②旋轉(zhuǎn)后OB在拋物線(xiàn)上；③旋轉(zhuǎn)后BE在拋物線(xiàn)上討論即可得到有四個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)中心．

解答：解：（1）在等腰梯形ABCD中，S_梯形ABCD=8，
∴

4×OD

2

=8，
∴OD=4，
∴D（0，4），
∵tan∠DAO=4，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
把A（-1，0）、B（2，0）、D（0，4）代入y=ax²+bx+c得

a-b+c=0 4a+2b+c=0 c=4

，
∴

a=-2 b=2 c=4

．
∴y=-2x²+2x+4．

（2）當(dāng)點(diǎn)O在線(xiàn)段AD上時(shí)，如圖，
BB₁=

5

t，B₁O₁=2，B₁H=2t，BH=t，
B₁G=2-t，O₁G=2-（2-t）=t
由△DO₁G∽△DAO得

t

1

=

4-2t

4

∴t=

2

3

，
當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上時(shí)，如圖，
BB₁=

5

t，B₁H=2 t，BH=t，
∵B₁O₁=2，
∴E₁G=t，DG=4-（2t-1）=5-2t
由△DO₁G∽△DAO得：

t

1

=

5-2t

4

∴t=

5

6

∴

2

3

≤t≤

5

6

；

（3）（-2，2）（

5

2

，

3

2

）  （3，

3

2

）   （-1，

3

2

），
分為3種情況，①旋轉(zhuǎn)后OE在拋物線(xiàn)上；②旋轉(zhuǎn)后OB在拋物線(xiàn)上；③旋轉(zhuǎn)后BE在拋物線(xiàn)上．
1、旋轉(zhuǎn)后OE在拋物線(xiàn)上：
設(shè)為O′E′，則O′E′平行于x軸，拋物線(xiàn)y=-2x²+2x+4=-2（x-

1

2

）²+

9

2

，對(duì)稱(chēng)軸x=

1

2

，
則x₁=

1

2

-

1

2

|OE|=

1

2

-

1

2

=0，x₂=

1

2

+

1

2

=1．
則兩點(diǎn)為（0，4）、（1，4）．
這時(shí)分別：1）O′（0，4）、E′（1，4）．
然后分兩種情況分別作OO'，EE'的中垂線(xiàn)，其交點(diǎn)即為其旋轉(zhuǎn)中心．
∵OO′的解析式為y=2，易得，EE′的解析式為y=

5

2

x-1，則EE′的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3

2

），
其中垂線(xiàn)解析式為y=-

2

5

x+b，將（1，

3

2

）代入解析式得，b=

19

10

，
則解析式為y=-

2

5

x+

19

10

，當(dāng)y=2時(shí)，x=-2．
旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為（-2，2）．
2、旋轉(zhuǎn)后OB在拋物線(xiàn)上：
OB∥y軸，則O′B′∥x軸，但拋物線(xiàn)y=-2x²+2x+8=-2（x-

1

2

）²+

17

2

，不成立．
3、旋轉(zhuǎn)后BE在拋物線(xiàn)上：
BE邊旋轉(zhuǎn)90°后所得線(xiàn)段B'E'與BE垂直，直線(xiàn)斜率k_BE=

1

2

，則k_B'E'=-2．
設(shè)旋轉(zhuǎn)后B'E'所在直線(xiàn)方程為：y=-2x+m．
拋物線(xiàn)：y=-2x²+2x+4，聯(lián)立，解方程，得：
（x，y）=（2，m-4-2）或 （x，y）=（2-，m-4+2）
此為兩交點(diǎn)坐標(biāo)，求距離使其等于|BE|=2．有：
|BE|=2，從而有m=11，
兩點(diǎn)坐標(biāo)：（3，5），（1，9）．
然后分1）B′（3，5），E′（1，9）；2）E′（3，5），B′（1，9）兩種情況，
分別作BB′與EE′的垂直平分線(xiàn)，兩者交點(diǎn)即為其旋轉(zhuǎn)中心．
綜上，同1中解法，共有5種可能性，5個(gè)旋轉(zhuǎn)中心，（-2，2），（-4，4）（5，3）（6，3）（-2，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是二次函數(shù)的知識(shí)與旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)、平移等知識(shí)的結(jié)合更是近幾年中考的熱點(diǎn)考題之一，難度較大．