Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上運動（不與點M重合），點Q在半圓O上運動，且總保持PQ=PO，過點Q作⊙O的切線交BA的延長線于點C．
（1）當∠QPA=60°時，請你對△QCP的形狀做出猜想，并給予證明；
（2）當QP⊥AB時，△QCP的形狀是______三角形；
（3）由（1）、（2）得出的結論，請進一步猜想當點P在線段AM上運動到任何位置時，△QCP一定是______三角形．

Answer 1

解：（1）△QCP是等邊三角形，
證明：連接OQ，則CQ⊥OQ，
∵PQ=PO，∠QPC=60°，
∴∠POQ=∠PQO=30°，
∴∠C=90°-30°=60°，
∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°，
∴△QPC是等邊三角形．

（2）連接OQ，
∵∠PQO=∠POQ=45°，
∴∠CQP和∠C都是45°角的余角，
∴∠CQP=∠C=45°，△QCP是等腰直角三角形．

（3）∵PQ=PO，
∴∠PQO=∠POQ，
∴∠CQP=∠PCQ，
∴△CPQ是等腰三角形．
分析：（1）可根據(jù)切線的性質(zhì)來求解，連接OQ，那么OQ⊥CQ，可根據(jù)∠CPQ的度數(shù)得出∠PQO=∠POQ，那么∠CQP和∠C都是30°角的余角，因此它們的度數(shù)都是60°，由此可得出三角形CPQ是個等邊三角形．
（2）方法同（1），連接OQ后，∠PQO=∠POQ=45°，那么∠CQP和∠C都是45°角的余角，因此它們的度數(shù)都是45°，由此可得出三角形QCP是等腰直角三角形．
（3）不管P在AM上的任何位置，證法都同（1），由于PQ=PO，那么∠PQO=∠POQ，那么根據(jù)等角的余角相等，那么∠CQP=∠PCQ，因此三角形CPQ是等腰三角形．
點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形的判定等知識點，根據(jù)切線的性質(zhì)來求解是本題的基本思路．