Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，點(diǎn)M沿AB邊從A點(diǎn)開始向B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)N沿DA邊從D點(diǎn)開始向A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)時(shí)間（0≤t≤9），求：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，∠ANM=45°？
（2）計(jì)算四邊形AMCN的面積，根據(jù)計(jì)算結(jié)果提出一個(gè)你認(rèn)為合理的結(jié)論；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)M、N、A為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意分析可得：因?yàn)閷?duì)于任何時(shí)刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t．當(dāng)NA=AM時(shí)，△MAN為等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案；
（2）根據(jù)（1）中．在△NAC中，NA=9-t，NA邊上的高DC=18，由三角形的面積公式可得關(guān)系式，計(jì)算可得在M、N兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，四邊形NAMC的面積始終保持不變；
（3）根據(jù)題意，在矩形ABCD中，可分為AN：AB=AM：BC、AN：BC=AM：AB兩種情況來研究，列出關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)可得答案．

解答：解：（1）對(duì)于任何時(shí)刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，
當(dāng)AN=AM時(shí)，△MAN為等腰直角三角形，即：9-t=2t，
解得：t=3（s），
所以，當(dāng)t=3s時(shí)，△MAN為等腰直角三角形．

（2）在△NAC中，NA=9-t，NA邊上的高DC=12，
∴S_△NAC=

1

2

NA•DC=

1

2

（9-t）•18=81-9t．
在△AMC中，AM=2t，BC=9，
∴S_△AMC=

1

2

AM•BC=

1

2

•2t•9=9t．
∴S_{四邊形NAMC}=S_△NAC+S_△AMC=81（cm²）．
由計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：
在M、N兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，四邊形NAMC的面積始終保持不變．（也可提出：M、N兩點(diǎn)到對(duì)角線AC的距離之和保持不變）

（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況來研究，在矩形ABCD中：
①當(dāng) NA：AB=AM：BC時(shí)，△NAP∽△ABC，那么有：
（ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s），
即當(dāng)t=1.8s時(shí)，△NAP∽△ABC；
②當(dāng) NA：BC=AM：AB時(shí)，△MAN∽△ABC，那么有：
（ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s），
即當(dāng)t=4.5s時(shí)，△MAN∽△ABC；
所以，當(dāng)t=1.8s或4.5s時(shí)，以點(diǎn)N、A、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題比較復(fù)雜，考查了等腰三角形、相似三角形的判定定理與性質(zhì)，是一道具有一定綜合性的好題．