Question

（2012•博野縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：y=

4

3

x+8與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A、點(diǎn)C，且與x軸的另一交點(diǎn)為B（x₀，0），其中x₀＞0，又點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并在圖1中的l上找一點(diǎn)P₀，使P₀到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離之和最�。�
（2）若△PAC周長的最小值為10+2

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，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在線段CO上有一動(dòng)點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)O移動(dòng)（M不與端點(diǎn)C、O重合），過點(diǎn)M作MH∥CB交x軸于點(diǎn)H，設(shè)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒，試把△P₀HM的面積S表示成時(shí)間t的函數(shù)，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，計(jì)算求出x的值，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)軸對(duì)稱性，連接CB與對(duì)稱軸l的交點(diǎn)即為到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離之和最小的點(diǎn)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)P₀處時(shí)，△PAC的周長最小，此時(shí)三角形的周長等于AC+CB，再根據(jù)直線AC的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出AC的長，從而得到CB的長度，再次利用勾股定理列式求出OB的長度，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進(jìn)行計(jì)算求出拋物線解析式，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式形式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）先表示出OM的長度，然后判定△OMH和△OCB相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出MH的長度，過點(diǎn)M作MD⊥CB于點(diǎn)D，然后根據(jù)∠OCB的正弦列式求出MD的長度，再根據(jù)平行線間的距離相等，點(diǎn)P₀到MH的距離等于MD的長度，再根據(jù)三角形的面積公式列式并整理即可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）令y=0，則

4

3

x+8=0，
解得x=-6，
所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（-6，0），
連接CB與直線l相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為P₀；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)P₀處時(shí)，△PAC的周長最小，
此時(shí)，可求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），
在Rt△AOC中，AC=

AO2+OC2

=

62+82

=10，
∵△PAC周長的最小值為10+2

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，
∴CB=10+2

41

-10=2

41

，
在Rt△BOC中，OB=

OB2-OC2

=

(2 41 )2-82

=10，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0），
∵點(diǎn)A（-6，0），B（10，0），C（0，8）都在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴

36a-6b+c=0 100a+10b+c=0 c=8

，
解得

a=- 2 15 b= 8 15 c=8

，
∴拋物線的解析式為y=-

2

15

x²+

8

15

x+8，
∵y=-

2

15

x²+

8

15

x+8=-

2

15

（x²-4x+4）+

8

15

+8=-

2

15

（x-2）²+

128

15

，
∴頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，

128

15

）；

（3）∵點(diǎn)M的速度是每秒2個(gè)單位，
∴OM=OC-CM=8-2t，
∵M(jìn)H∥CB，
∴△OMH∽△OCB，
∴

MH

CB

=

OM

OC

，
即

MH

2 41

=

8-2t

8

，
解得MH=

4-t

2

41

，
過點(diǎn)M作MD⊥CB于點(diǎn)D，則sin∠OCB=

MD

CM

=

OB

CB

，
即

MD

2t

=

10

2 41

，
解得MD=

10 41

41

t，
根據(jù)平行線間的距離可得，點(diǎn)P₀到MH的距離等于MD的長度，
所以，S=

1

2

×

4-t

2

41

×

10 41

41

t=-

5

2

t²+10t，
∵8÷2=4，
∴0＜t＜4，
∵y=-

5

2

t²+10t=-

5

2

（t²-4t+4）+10=-

5

2

（t-2）²+10，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值，最大值為10．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了最短路線問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，難度較大，需仔細(xì)分析，理清題目的數(shù)量關(guān)系與變化過程方可正確求解．